2-4随机变量的函数的分布

概率论,2.4,随机变量的函数的分布,方法,将与,Y,有关的事件转化成,X,的事件,.,2.4,问题,已知,r.v.,X,的分布,，,求随机因变量,Y,=g,(,X,),的分布,.,设,r.v.,X,的分布律为,由已知函数,g,(,x,),可求出,r.v,.,Y,的所有,可能取值，则,Y,的分布律为,离散型,r.v,.,的函数的分布,离散型,例,1,已知,X,的概率分布为,X,p,k,-1 0 1 2,求,Y,1,=,2X,1,与,Y,2,=,X,2,的分布律,.,例,1,例,2,设随机变量,X,具有以下的分布律,试求,Y,=(,X,-1),的分布律,.,1,0,1,2,0.2,0.3,0.1,0.4,解,Y,所有可能取的值为,0,1,4.,由,即得,Y,的分布律为,0,1,4,0.1,0.7,0.2,F,Y,(,y,),=P,Y y,=,P,2,X,+8,y,解：,设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，,例,3,设,X,的概率密度函数为,求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,=,P,X,=,F,X,(),Y,的密度函数,连续型,r.v,.,的函数的分布,故,注意到,0,x,4,时，,即,8,y,16,时，,此时,从上例中可以看到，在求,P,Y,y,的过程中，关键的一步是设法,从,g,(,X,),y,中解出,X,从而得到与,g,(,X,),y,等价的,X,的不等式,.,例如，用 代替,2,X,+8,y,X,这样做是利用已知的,X,的分布，从而求出相应的,分布,.,这是求连续型,r.v,的函数的分布的一种,常用方法,.,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量的函数的概率密度,.,其中，,x=h,(,y,),是,y=g,(,x,),的反函数,.,定理,设,r.v,.,X,的概率密度为,f,(,x,),又设,y=,g,(,x,),处处可导，且对于任意,x,恒有,或,，,则,Y=,g,(,X,),是一个,连续型,r.v,，,它的,概率密度为,例,5,设随机变量,X,在,(0,1),上服从均匀分布，求,Y,=-2ln,X,的概率密度.,解,：,在区间,(0,1),上,函数,ln,x,0,于是,y,在区间,(0,1),上单调下降，有反函数,由前述定理,得,注意取,绝对值,已知,X,在,(0,1),上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即,Y,服从参数为,1/2,的指数分布,.,例,6,已知,X,N,(0,1),Y=X,2,求,f,Y,(,y,),例5,例,7,X E,(2),Y=,3,X+,2,求,解,例4,