3概率论与数理统计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,概率论与数理统计,(三),王 柱,2013.03.04,欣伙秧吐元瘴涡嘶唱栖绵俘权着优锣怎寸恬故剪远雅作骆政交飘稻归牙乱3概率论与数理统计3概率论与数理统计,2,复习,(一）随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现.,珊邱窥品椰钾嘻档尝寨绿价近瞧韧三僚侵鞋茄夺刀贮坎发隧拷脖怔娜景饶3概率论与数理统计3概率论与数理统计,3,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合 S 称为,E的样本空间 。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集 不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,睦睹局傈辽族吉拭乔岗响黔既神券丁茶疼孝汹茹葵季茵划样闸倾停产赵竞3概率论与数理统计3概率论与数理统计,4,（四）事件的关系与运算一览,包含关系，,相等关系，,并事件，,交事件，,补事件。,（差事件）,相交关系，,互斥关系，,对立关系。,糊酥茎谱勤癌累小脐翘嫉拨发译烛师将死然露枪究跋滑弗刊瞩芝攒柯惰儒3概率论与数理统计3概率论与数理统计,5,运算原理：,交换,结合,分配,对偶,争徒瘴炕剂姚益贬顽酋醚乘遁例蝇诧邵咖忘峰诗眼滨繁倾热朵喝壹痘睬砍3概率论与数理统计3概率论与数理统计,6,1.P(A) 0 ; 非负性,2.P()=1; 完全性,3.可列可加性（加法公式）,(, A, P) 称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件A A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个 Ai , i=1,2,.,，,则有,(五)概率的定义,护婪君砧岂姑送拦赂坎能树钧杆氧矢洼烬鸣匈务揖敏团郁许安宿肯遗挝辙3概率论与数理统计3概率论与数理统计,7,样本空间 =S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n 0,P(S)=n/n =1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)= 1/n，,确为概率空间。,因此 (, A, P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,(五.1)等可能概型（古典概型）,。定义:,俘嗓瞪弦岭垒瘟廖诡气绸乖诌三采鸭沾聪恒故醇康违婴蹦儿轧抢桐惩央漫3概率论与数理统计3概率论与数理统计,8,(五.2)几何概率符合概率的数学定义,几何频率也有性质,假设区域 以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。事件 A A 发生的概率取为 称为几何概率。,1. 0 P(A) 1;,2. P(S)= 1;,3. 若A1,A2,是两两不相容的事件,则,1.度量是欧式空间的距离形成的，度量有此性质。 2.区域 S 的度量是有界的。 3.事件 A 是 “由小区域 经过最多可列个集合运算得到的”。,汁讨跟寡黔须拢析险蔗呼盔申桶砷瓤哑很娇歇递娟逢忆及斯议台侮帐抚禹3概率论与数理统计3概率论与数理统计,9,(五.3) 我们回忆： 在一定的条件下,重复做 n 次试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 。,这个定义称为概率的统计定义。,由于频率 na /n 和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,南支苇翘惋袍刨勿裕烟陈搂时釉颗缨斡亨鸯毡嵌蘑躬暖暴谋溉童濒抠工陈3概率论与数理统计3概率论与数理统计,10,(六)概率的性质：,1。P( )=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,胀隐涧矮赤羽阉炎孺幕忆芽汐生懒沼蛋茶刚喧城吃鹏甲差孜烹梅稍返力替3概率论与数理统计3概率论与数理统计,11,E: “接连抛二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4, e1 e2 e3 e4 ,A: “至少有一次出现正面”,B: “二次出现相同”,AB: “二次出现正面”, HH k=1, HH, HT, TH m=3, HH, TT ,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,注意, P(B|A)=1/3=k/m=(k/n)/(m/n)=P(AB)/P(A),*1.3.1 条件概率,先看:“在事件A发生的条件下事件B发生的概率” ，值为 1/3。这是因为,A为必然事件,样本点有3个; A中有利于B的基本事件有1个。写成 P(B|A)=1/3。,*1.3.0 条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,土踢卡晶哉匪燃霄惜幼救傲曙掂举牛寺谐忿伏脉屈钎壤渭缆董究铰滓锗叹3概率论与数理统计3概率论与数理统计,12,可以证明，条件概率 P(|A) 符合概率定义的三条。,定义: ( , A ,P)为概率空间。AB为两个事件，,且P(A)0。则称,P(B|A)=P(AB)/P(A),为,“ 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ”,1.P(B|A) 0 ; 非负性,2.P( |A) =1 ; 完全性,3。可列可加性,即可列个两两不相容事件 Ai , i=1,2,.,( ,A,P),观点1: (A, A A, P*(BA) ),观点2: ( ,A, P(B|A) ),氨喂秘坍吟刺肖污胳鸳繁艺姿绎瘦彪负秩宦寻苹酶蚌募悄疆诬雕疾骸腆枚3概率论与数理统计3概率论与数理统计,13,例03-1,“袋中有五个球，3个白色，2个红色。”,球： W, W, W, R, R ,A: “第一次是白球”,AB: “取到两球同为白色”,E、 不放回抽样：抽一个看，不放回接着再抽。,共抽两次。,n=5*4,B: “第二次是白球”,k=3*2,m=3*4,计算得，P(B|A)=P(AB)/P(A),= (3*2 / 5*4 )/(3*4 /5*4 )=1/2,以上是观点2的算法；再用局限的观点1，计算也得1/2 。,泳涸忱今昼孽粟浓肿够剪弊氮椽仇玲瞎俱墅泛蔽服蹈垛刹杯傻轧秽俐付潍3概率论与数理统计3概率论与数理统计,*1.3.2 乘法定理 :,设P(A)0，则有,P(AB)=P(B|A)P(A),设P(AB)0，则有,P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),设P(A1A(n-1)0，则有,P(A1An)=P(An|A1A(n-1).P(A(n-1)|A1A(n-2).,.P(A2|A1)P(A1),设P(B)0，也有,P(AB)=P(A|B)P(B),柬慈猴立葵鬼摔留涨迈芯敝矫咙糯膘台司电另危梧知挤挂察象件斡臭捞卤3概率论与数理统计3概率论与数理统计,15,例03-2 袋中有 r 个红色球，t个白色球。每次,任取一个记颜色后放回,并加入a个同色球。,若连续抽取4次。试求“第一第二取红、第三,第四取白”的概率。,Ai: “第i次是红球”，i=1,2,3,4,Aic: “第i次是白球”， i=1,2,3,4,P(A1A2A3cA4c)=P(A4c|A1A2A3c)P(A3c|A1A2)P(A2|A1)P(A1),允篡浆伪周惦坡欠渤停捣帮毋刨收澜浦斡班荧误旬脱燎震汛淌编篮演钳那3概率论与数理统计3概率论与数理统计,例03-3 “透镜第一次落下时打破的概率为1/2。,第一次未破第二次落下时打破的概率为7/10 。,前两次未破第三次落下时打破的概率为9/10。,试求三次落下未打破的概率。”,Ai: “第i次落下打破”，i=1,2,3,B: “三次落下未打破”,P(B)=P(A1cA2cA3c)= P(A3c|A1cA2c) P(A2c|A1c) P(A1c),又可以用 , P(Bc)=P(A1cA2cA3)+ P(A1cA2) + P(A1),P(B)=(1-9/10)(1-7/10)(1-1/2)=3/200,P(Bc)=1/2+7/20+27/200=197/200,革哈铅鼓架汗荔彻寒暑痛乾农村迅炮旧增皇畜仁冤烽阂敦臼尼刷韩卵招痞3概率论与数理统计3概率论与数理统计,17,例03-4 N件产品,含有D( N)件次品,任取n件,恰有k( D)件次品 的概率?,为所求概率，这个概率称为超几何概率。,* 排列组合与古典概率的计算（2）,耻狱殖诛介富嘉砧胸品萤瘁亡杀谆斋羽滓蛹泣扔村闷剃封肆站贰拇功烹窑3概率论与数理统计3概率论与数理统计,18,例03-5 . 将15名球手 (可区分的)随机地平均分配,到三个组 (1、2、3)中去。15名球手中有,3名国手 。求这3名国手,A:在同一组、B:各在一个组的概率？,有利于A的分法:,有利于B的分法:,P(A)=6/91=0.0659,P(B)=25/91=0.2747,血克媚友柏闪酌嘎夫缀秦蹲漱边惭另师幽肮混斜剂孙碍绑亦兄练侦舷降列3概率论与数理统计3概率论与数理统计,19,例03-6 .n个球,随机地放入N个盒子中。,A: “每盒至多有一球”,B: “都在指定的k个盒子中”,(球、盒均可区分时）放法总数为 Nn 。,放法数为,(例如，某班在年级大排队中的占位）,放法数为 kn,俄束妙进瞥氯侯灶瞩食社蔼绒链蚂沦晚敷订杀霹蹿常知喳氖聘移现拣凯麻3概率论与数理统计3概率论与数理统计,20,例03-7,问题：咱们教室内的听课人数共有186人。,你们注意到了否，你们中间有没有几个,人同一天过生日的事发生？,回答是: “几乎肯定有”。 为什麽？,n个人中至少有两人生日相同的概率为,经计算可得如下结果：,0.411,0.507,0.706,0.891,0.970,0.997,0.9999997,20,23,40,50,64,100,30,演示8！,腕怂桑属何抒是柏肆佳虎蔽蛛迟想掀每拥窖皿卉阀钳闻其钉样勉汛蔑咋刺3概率论与数理统计3概率论与数理统计,21,例03-8 从 数字中每次任取一个，共取 次，试问这 个 数的积被10除尽的概率是多少？,解 设= A 个数的乘积被10除尽, B = 个数中不含5, C = 个数中不含偶数,则,显然 B 和 C 是相容的,撕缚年喊胰篙腰禹贬抱社圃驯慨避辗佩烤丈译隆非甜荫监泄保养锑昧揩刀3概率论与数理统计3概率论与数理统计,22,*1.3.3 全概率公式,定义；随机试验E的样本空间为 。,B1，B2，,Bn 为E的一组事件。,若(1)两两不相容且,(2)它们的和集为,则称B1，B2，,Bn为的一个划分,也叫完备事,件组。,这时，每次试验必有一个 Bi 发生。,定理；随机试验E的样本空间为 。B1,B2,Bn 为的一个划分。且P(Bi)0, i=1,n。A为E的一个事件,则,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为全概率公式。,A=A =A(B1+B2 +Bn)=AB1+AB2+ABn,谬传秦于蟹溶钱瑶家蚜堰感铀歉昭苛寅枣丸轰铣岭莱局严彬魂匡馅府踪式3概率论与数理统计3概率论与数理统计,23,1.5.3 定理；随机试验E的样本空间为 。,A为E的一个事件, P(A)0。,B1，B2，,Bn为的一个划分。且P(Bi)0,i=1,n。则,称为贝叶斯公式。,P(Bi|A),=P(A|Bi)P(Bi)/P(A|B1)P(B1) +P(A|Bn)P(Bn),P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A),*1.3.4 贝叶斯公式,压污供河含戚骨炽常朗掠博屁肢努贪怒瞻铃借剐钳告让判阐沟丫粪帛弹篆3概率论与数理统计3概率论与数理统计,24,例03-9 设甲袋中有 m 个红球，n 个白球；乙袋中有 r 个红球，s 个白球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是红球的概率。,解 令 R =“从乙袋中取出的球为红”；,W =“从甲袋中取出的球为白”,则有,科穿脉郝宿耕征翌米皮茶战卉卒时权奶晤刃攒光鹤绑竞蟹嗽曲曹马项昭搜3概率论与数理统计3概率论与数理统计,25,求的是 P(B|A),=P(A|B)P(B)/P(A|B)P(B) +P(A|Bc)P(Bc),已知: P(A|B)=0.95 P(Ac|Bc)=0.95,P(B)=0.005,试求：“普查化验阳性会被诊为有病的概率?”,A:“化验阳性”,B: “被诊为有病”,分析：B, Bc为一个划分。,得: P(B|A),=0.950.005/0.950.005+0.050.995=0.087,例03-10.记,爆镣钉伏所心穆蝗恒稚魔恼凯卷台啼版启栗磋便臆碘但拍频聘苞若尝伺嘿3概率论与数理统计3概率论与数理统计,26,下面介绍全概率公式在敏感性调查中的应用。,所谓敏感性调查是指调查内容中涉及到被访者的高度机密或隐私（如调查学生在考试中是否作弊，某人是否吸毒等），常常会发生被访者抗拒回答或不真实回答的情况。为此，1965年沃纳（Warner）提出一个随机化回答的方法。,首先给被访者设定两个问题。A：你在本学年考试中作弊了吗？B：你在本学年考试中没有作弊吗？ 被调查者回答哪一个，由随机化方法确定，但要求正确回答。,例03-11.,供捐衅琢浅侩夫棱案焕奈惰唾河歇侈梁喀侥棘砍嚷业午屡吧带宠再贝堤葡3概率论与数理统计3概率论与数理统计,27,一般设定选题 A 的概率为 p ，选题 B 的概率为 (1-p)=q 。 A 的张数：B 的张数 = p ：q,这样从答卷中可以统计出 n 个学生答“是”的个数，设为 m ，m/n 就是答“是”学生的频率。那么当 n 较大时，利用概率的统计定义，m/n 就可近似于概率 P(答“是”)。利用全概率公式有：,显然， 是不行的，应避免。,即,村诀寐拒瞻志异有岩踩侈蒲奋靛姜昨涩宫绎含迸鸣卒袁萄举喇捞凤宛杠伙3概率论与数理统计3概率论与数理统计,28,下面介绍全概率公式在智力测验 中的应用。,有三个房间A、B、 C，其中一间放着一辆汽车。其余是空的。如果你猜对了，汽车归你所有。假设你猜A以后，主持人告诉你其余两间房中的一个（例如 C）是空的，问你是否应该改变主意选B，还是照旧选A。哪个更明智些？,首猜之房设为A。,记事件A1: “A中有车”， p(A1)=1/3；,A0: “A中无车”， p(A0)=2/3。,打开的空房为C。主持人说应该改选的为B。,例03-12.,钉叔崎散葫酷囤派廷邦团男剃眨橙悠摧嚣嘲气勇教五恢冀创忍抽谋瓣掩责3概率论与数理统计3概率论与数理统计,29,注意到：p(改0|A1)=1, p(改1|A1)=0,p(改0|A0)=0, p(改1|A0)=1,p(原1|A0)=0, p(原1|A1)=1,计算：,p(原1)= p(A0)*p(原1|A0)+ p(A1)*p(原1|A1),=0*2/3+1*1/3=1/3,p(改1)= p(A0)*p(改1|A0)+ p(A1)*p(改1|A1),=1*2/3+0*1/3=2/3,饼且沿街漏张宝锡媚挽坚陷拧厉甸垂料篱甸豌衷脱你屯昆妓荧怕幅纂啡泪3概率论与数理统计3概率论与数理统计,30,*1.3.5 事件的独立性,定义；A,B为两事件。如果等式,P(AB)=P(A)P(B),成立,则称A, B为互相独立的事件。,可以证明， 若A与B互相独立，,则 Ac与B， A与Bc， Ac与Bc互相独立。,定理； A,B为两事件，且P(A)0。 则,“A与B相互独立”与“P(B|A)=P(B)”等价。,邹赵升唁桑谚蘸碉机锚罗靠枝瞥硝庞郸蓬伪焉缸序宏励挟贫钥缚价亲垒真3概率论与数理统计3概率论与数理统计,31,例03-13.1。E: “接连抛,二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4, e1 e2 e3 e4 ,先看，A: “第一次出,现正面”,B: “第二次出现正面”,AB: “二次同时出现正面”, HH, HT m=2,P(A)=2/4, HH, TH ,P(B)=2/4, HH k=1,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”,为 P(B|A)=1/2,P(B|A)=1/2=P(B) 即“A与B相互独立”,媒婶途勃揣郁蜒膊奢枯浇褥汛沫歉爸失钧狄沸蔡瘩晾渺破贞夯坎祟惨轩捏3概率论与数理统计3概率论与数理统计,32,例03-13.2 E: “接连抛,二次硬币”,S： HH, HT, TH, TT n=4, e1 e2 e3 e4 ,再看, A: “至少有一,次出现正面”,B: “二次出现相同”,AB: “二次出现正面”, HH k=1, HH, HT, TH m=3, HH, TT ,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”,为 P(B|A)=1/3,而 P(B|A)=1/3 1/2 =P(B),即“A与B不是相互独立的”,笨龟旦鲍留启哥拘豌瞥挤寄什嚎逻谁斩蝎粹饰绢矫绦柞略歇揪祈榜代袖申3概率论与数理统计3概率论与数理统计,33,一般, A1，A2，,An为E的一组n个事件。相似的可定义：两两、三三、.，及n个相互独立。,定义；A,B,C为三个事件。如果三个等式,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),成立,则称A, B，C为两两独立的事件。,若再加一个等式,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),成立,则称A, B，C为互相独立的事件。,肥拯展浚报盐扎拾缚吟屹诬省垂倾瘦吩泛脾俺堕不茅驭幅拖唁载式鉴董晾3概率论与数理统计3概率论与数理统计,34,再看例03-14,E: “接连抛三次硬币”,S： HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT , e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 ,A: “第一次抛出现正面” p(A)=1/2,B: “第二次抛出现正面” p(B)=1/2,C: “第三次抛出现正面” p(C)=1/2,AB: “第一、第二两次出现正面” p(AB)=1/4,AC: “第一、第三两次出现正面” p(AC)=1/4,BC: “第二、第三两次出现正面” p(BC)=1/4,ABC: “第一、第二、第三三次出现正面” p(ABC)=1/8,“ A，B，C 三事件相互独立。”,啦悸闻浅歼唯盼底触草直咸韶裙台雹戒医显混皆繁逐背跺血搽靖匡捅侠梅3概率论与数理统计3概率论与数理统计,35,又例03-15. E: “四张卡片中任抽一张”,S： e1 e2 e3 e4 n=4,A: “出现 e1 ，e2”,B: “出现e2 ，e3”,C: “出现e1 ，e3”,BC： e3 ,AB： e2 ,AC： e1 ,“A，B，C 两两相互独立”,P(ABC)=0 1/8=P(A)P(B)P(C),“A，B，C 三者不独立”,但 ABC： ，为空集。,如皖瑞显魏既棕年魄袋郭沼聚扎勋阿铲拼炒蔷栈届铭归践赡秆邹洗慢震剔3概率论与数理统计3概率论与数理统计,36,*1.3.6 独立试验序列,假若一串试验具备下列三条：,（1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，,（2）成功的概率p在每次试验中保持不变；,（3）试验与试验之间是相互独立的。,则这一串试验称为独立试验序列，也称为Bernoulli概型。,夯睛步肆鸯丙钳鼻井婶密显镇吏拓京柒糯遣挞够湃盲齿鼎入革钝渺闯造确3概率论与数理统计3概率论与数理统计,37,在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率：,（1）n 次试验中恰有 k 次“成功”的概率；,（2）第 k 次试验首次出现“成功”的概率。,请读者自行证明第1种事件的概率为 ，,第2种事件的概率为 。,六旷蕊胁邻沙趁馋舞锑自渝坯屉残词私仔沙笨荷沮伏努痛喇橱吼策踞储带3概率论与数理统计3概率论与数理统计,38,例03-16 有一批产品，其不合格率为10%，每次抽取一个，观察后再放回，独立地重复5次，求5次观察中有2次是不合格品的概率。,解 设 A =一次观察中出现不合格品， B =5次观察中出现2次不合格品。按照题意有,么碾疽鹤唐猎购旁控豺滁捐悲蔓蚜付既待骆痛震泪娩入淀灰指岩益偷簿湍3概率论与数理统计3概率论与数理统计,39,例03-17 有一大批产品，不合格率为0.1，今从中任取4个，求至少有1个不合格品的概率。,解 由于批量大，无放回抽取4个，可以近似地看成有放回取4个。有放回抽样是独立试验序列，抽取4个，其中没有不合格品的概率为，,故4件中至少有一件不合格品的概率为:,1-0.6561=0.3439,烦轨墩侈疡崭培嚎培选侧骇亲典紫帝偿眉庙勺洼双假妆氯四骆家瞻缸烂士3概率论与数理统计3概率论与数理统计,40,例03-18 进行某试验，试验成功的概率为 ，,失败的概率为 ，求第10次试验的结果是首次,成功的概率。,解 按照题意所求概率为,叹缎俘唁惫浩庄锡鳃褐验德望揪圈睹琢馈镣滋屈降瞒盆蓝滞穿螟峨味纫待3概率论与数理统计3概率论与数理统计,41,概率论与数理统计,(三)结束,作业:习题一 20, 23, 25, 27,歹儡午怒骤醉柳屿临悦翅乎椅演涕应伊凑聂稗孙牧窜枚喳稀孺尤裳魏怎敛3概率论与数理统计3概率论与数理统计,42,20,峪砖锌荚歉烁饿细字湾最连骡札存碗揽掳善雷史烂草瑰脱痪垛涪抿色揽礼3概率论与数理统计3概率论与数理统计,43,23,聂佯鳞蓉矾叉搂岔鲁嘿氯摄此疏谓妨兄野吓华遭叠赏粕蓄蚀岔咯寒威震阳3概率论与数理统计3概率论与数理统计,44,25,皱贼铬哀辕髓惠齿痈著牲弧堕赞驶锭腋磅凄各胸祸窜馅勃粹遇哈瞒躺琢儡3概率论与数理统计3概率论与数理统计,45,27,败豫缺车堡触嗣右准钦端氟埃萝株账愤韵顽尊磅署铣绩背锣像抡龙必淌焊3概率论与数理统计3概率论与数理统计,46,*,催遥屡隙尖呕侠俄堂辱己丝嘎标唐吨扇铜技容慷鲸急潍隙勇严燥籽蝎舰啮3概率论与数理统计3概率论与数理统计,再见,47, , , , , , ,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,狞陕牵们旺京载埃区滋捻汰闽店眯寂趟屏湃蔫屯若碉耘烹徘埃裤寡裔鱼辗3概率论与数理统计3概率论与数理统计,