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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量与线性方程组的求解,第,1,节 线性方程组的高斯消元解法及解判定定理,第,2,节 向量及其运算,第,3,节 向量组的线性相关性及相互表示,第,4,节 向量组的秩,第,5,节 线性方程组解的结构,第,6,节 向量的内积与正交化,第,6,节 向量的内积与正交化,一 向量的内积、长度及向量间的夹角,定义,内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。,内积也称作,点积,或,点乘,，并记作,x,y,。,由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量,(,列矩阵,)x,y,的内积又可写成,(,x,y,)=,x,T,y,。,内积具有下列性质,(,其中,x,y,z,为,n,维向量，,k,为实数,),：,(1),(,x,y,)=(y,x);,(2),(,kx,y)=k(x,y);,(3),(,x+y,z)=(x,z)+(y,z,);,(x,x),0,，当且仅当,x=0,时,(,x,x,)=0,。,内积还满足,施瓦茨,(Schwarz),不等式,定义,：定义向量 的,长度,(,范数,模,),为,向量的长度具有下述性质：,(1),非负性：当,x,0,时，,|x|0,；当,x=0,时，,|x|=0,；,(2),齐次性：,|k x|=|k|x|,；,(3),施瓦茨不等式：,|(,x,y,)|x|y|,；,(4),三角不等式：,|,x+y,|,|x|+|y|,。,在二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角,并没有,直观的含义。,但由施瓦茨不等式，,当,x0,y0,时，有,称该角度为非零向量,x,与,y,的,夹角,。,当,(,x,y,)=0,时，,x,与,y,的夹角为,此时称向量,x,与,y,正交,，,记为 。,由于零向量与任意同维向量的内积为,0,，所以,规定,零向量与任意同维向量正交。,二 正交的向量组及向量组的正交化,若一组向量两两正交，且不含,0,向量，则称该向量组为正交向量组。,定理,：正交的向量组必线性无关。,例：,在,n,维向量空间中可以找到,n,个两两正交的向量。这是因为,对任意的 有非零解，从而任取一非零解作为,则 正交；,2),又因方程组,亦有非零解，从而可确定与 正交的 ；,3),如此下去进一步确定出 ，即得,n,个两两正交的非零向量组。,若现已有线性无关的向量组,，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：,以上过程称为,施密特,(,Schimidt,),正交化过程,。,进一步，可将 单位化（规范化），,对施密特正交化过程，应注意向量组 与向量组,等价，其中,t=1,r,例：,例：,可得：,定理,：方阵,A,为正交阵的充分必要条件是,A,的列,(,行,),向量都是单位向量，且两两正交。,三 正交矩阵与正交变换,定义：,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A=E,则称,A,为,正交矩阵,，简称,正交阵,。,对正交阵,A,按列自然分块，则有,正交矩阵有如下性质：,若,A,为正交矩阵，则,|A|=1,或,|A|=-1,；,A,为正交矩阵，则,A,T,=A,-1,也为正交矩阵；,若,A,，,B,为同阶正交矩阵，则,AB,也为正交矩阵。,定义,：若,P,为正交矩阵，则线性变换,y=,Px,称为正交变换。,性质,：正交变换保持线段长度不变。,设,y=,Px,为正交变换，则有,由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。,
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