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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章平面向量及其应用,6.3,平面向量基本定理及坐标表示,6.3.1,平面向量基本定理,学习目标,素养要求,1.,理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义,数学抽象,2.,会用基底表示平面向量,数学运算,自 学 导 引,1,定理：,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个,_,_,_,，那么对于这一平面内的任意向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使,a,_,_,_,2,基底：,不共线的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内,_,_,_,的一个,_,平面向量基本定理,不共线向量,1,e,1,2,e,2,所有向量,基底,(,1),平面向量基本定理中基底的特征是什么？,(2),在平面向量基本定理中，为何要求向量,e,1,，,e,2,不共线,？,【预习自测】,【提示】,(1),不共线性和不唯一性,(2),若向量,e,1,，,e,2,共线，则,1,e,1,2,e,2,与向量,e,1,，,e,2,共线，即向量,1,e,1,2,e,2,只能表示与向量,e,1,，,e,2,共线的向量，无法表示平面内其他的向量,设,a,，,b,是同一平面内的两个不共线向量，若,x,1,a,y,1,b,x,2,a,y,2,b,，则,_,平面向量基本定理唯一性,【预习自测】,设向量,e,1,与,e,2,不共线，若,3,xe,1,(10,y,),e,2,(4,y,7),e,1,2,xe,2,，求实数,x,，,y,的值,课 堂 互 动,题型,1,对平面向量基本定理的理解,(2),如果,e,1,，,e,2,是平面,内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是,_(,填序号,),e,1,e,2,(,，,R),可以表示平面,内的所有向量；,对于平面,内任一向量,a,，使,a,e,1,e,2,的实数对,(,，,),有无穷多个；,若向量,1,e,1,1,e,2,与,2,e,1,2,e,2,共线，则有且只有一个实数,，使得,1,e,1,1,e,2,(,2,e,1,2,e,2,),；,若存在实数,，,使得,e,1,e,2,0,，则,0.,素养点睛,：本题考查了数学抽象的核心素养,【答案】,(1)AC,(2),【解析】,(1),如图所示，,A,，,C,中的向量不共线，可以作为基底，,B,，,D,中的向量共线，不能作基底,(,2),由平面向量基本定理可知，,是正确的；,对于,，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；,对于,，当两向量的系数均为零，即,1,2,1,2,0,时，这样的,有无数个,【提醒】,一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其表达式也会不一样,【答案】,(1)B,(2)0,0,题型,2,用基底表示向量,素养点睛,：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养,用两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法,(1),运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至用基底表示为止,(2),通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解,【答案】,ABC,已,知,e,1,0,，,R,，,a,e,1,e,2,，,b,2,e,1,，则,a,与,b,共线的条件,是,(,),A,0,B,e,2,0,C,e,1,e,2,D,0,或,e,1,e,2,错解：,A,、,B,、,C,易错防范：,一定要注意,“,不共线,”,这个条件在做题时容易忽略，因此而致错，同时还要注意零向量不能作为基底,易错警示对基底的定义理解不准确致误,正,解：,若,e,1,，,e,2,共线，即,e,1,e,2,时，易得,a,与,b,共线；,若,e,1,，,e,2,不共线，要使,a,与,b,共线，则存在,m,，使,a,mb,，即,e,1,e,2,2,me,1,，得,0.,当,0,或,e,1,e,2,时，,a,与,b,共线故选,D,素 养 达 成,1,对基底的理解,(1),基底的特征,基底具备两个主要特征：,基底是两个不共线向量；,基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件,(2),零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量,2,准确理解平面向量基本定理,(1),平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的,(2),平面向量基本定理中，实数,1,，,2,的唯一性是相对于基底,e,1,，,e,2,而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一且选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的,(3),平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决,(,体现直观想象和逻辑推理的核心素养,),1,(,题型,1)(,多选,),下列关于基底的说法正确的是,(,),A,平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底,B,基底中的向量可以是零向量,C,平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的,D,对于确定的向量，表示该向量的基底是唯一的,【答案】,AC,【解析】,零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故,B,错，平面内两不共线的向量都可以作为一组基底故,D,错，,AC,正确,2,(,题型,1),设,e,1,，,e,2,是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是,(,),A,e,1,与,e,2,B,e,1,e,2,与,2,e,1,2,e,2,C,e,1,与,2,e,2,D,e,1,e,2,与,e,2,【答案】,B,【解析】,因为,2,e,1,2,e,2,2(,e,1,e,2,),，所以两个向量共线，不能作为基底,【答案】,B,4,(,题型,1),已知向量,e,1,，,e,2,不共线，实数,x,，,y,满足,(2,x,3,y,),e,1,(3,x,4,y,),e,2,6,e,1,3,e,2,，则,x,_,，,y,_.,【答案】,15,12,
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