数学建模基础 12.7实物交换问题

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,*,实物交换问题,甲有玉米若干千克，乙有山羊若干只。因为各自的需要，甲乙想交换彼此的东西，问怎样做才能完成交换活动？,10/3/2024,1,模型准备,实物交换问题在个人之间或国家之间的各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出一个确切的定量关系，此时，可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动。,10/3/2024,2,模型假设,交换不涉及其他因素，只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关,交换按等价交换原则进行,10/3/2024,3,模型构成,设交换前甲有玉米为,X,千克，乙有山羊,Y,只，交换后甲有玉米为,x,千克、山羊,y,只。则在交换后乙有玉米为,X-x,千克、山羊,Y-y,只，于是可以用一个平面坐标中的二维点坐标（,x,y,）描述一种交换方案，而这些坐标点满足,0,x,X,0,y,Y,，即交换只在这个平面矩形区域内发生。,10/3/2024,4,衡量偏爱程度的无差别曲线概念,无差别曲线表示为,f(x,y)=c,，,c,称为在点,(,x,y,),的满意度。,无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线或可以看成二元函数,f(x,y,),的等高线，虽然,f(x,y),没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别曲线的特点,10/3/2024,5,无差别的曲,f(x,y)=c,的特点,:,无差别曲线是彼此不相交的,无差别取曲线是单调递减的,满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方,无差别曲线是下凸的。,10/3/2024,6,实际交换究竟在交换路径曲线,MN,的哪一点上发生，要借助交换的原则。由假设,2,，交换按等价交换的原则。,设玉米的价格为每千克,p,元，山羊的价格为每只,q,元，则有交换前甲方拥有玉米的价值为,pX,乙方拥有山羊的价值为,qY,。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即,pX,=,qY,，,则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为,px+qy,乙方拥有玉米和山羊的价值为,p(X-x)+q(Y-y,),，,按按等价交换的原则应该有,px+qy,=,p(X-x)+q(Y-y,),用关系,pX,=,qY,，可得实际交换的点（,x,y,）满足关系式：,x/X+y/Y,=,1,10/3/2024,7,本题巧妙地用图形方法建模解决了涉及到不易定量表示的模糊概念建模问题。其中在建模中引入的无差别曲线概念及对无差别曲线的讨论很有特点，它给出了怎样研究和了解没有具体关系式函数的特征的一种方法。,简评,10/3/2024,8,