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*,*,*,第二章,2.3,双曲线,2.3.1,双曲线及其标准方程,1,学习目标,1.,了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,.,2.,掌握双曲线的标准方程及其求法,.,3.,会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题,.,2,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3,问题导学,4,知识点一双曲线的定义,思考,若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点,F,1,，,F,2,上，把笔尖放在点,M,处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？,如图，曲线上的点满足条件：,|,MF,1,|,|,MF,2,|,常数；,如果改变一下笔尖位置，使,|,MF,2,|,|,MF,1,|,常数，,可得到另一条曲线,.,答案,5,梳理,(1),平面内与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的差的,等于常数,(,小于,|,F,1,F,2,|),的点的轨迹叫做双曲线,.,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的,；,(2),关于,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,：,若将,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,改为,“,等于,|,F,1,F,2,|,”,，其余条件不变，则动点轨迹是以,F,1,，,F,2,为端点的,(,包括端点,),；,若将,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,改为,“,大于,|,F,1,F,2,|,”,，其余条件不变，则动点轨迹不存在,.,(3),若将,“,绝对值,”,去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的,.,(4),若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是,.,线段,F,1,F,2,的中垂线,绝对值,这两个定点,焦距,两条射线,一支,6,知识点二双曲线的标准方程,思考,1,双曲线的标准方程的推导过程是什么？,答案,7,(1),建系：以直线,F,1,F,2,为,x,轴，,F,1,F,2,的中点为原点建立平面直角坐标系,.,(2),设点：设,M,(,x,，,y,),是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为,F,1,(,c,，,0),，,F,2,(,c,，,0).,(3),列式：由,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,，,(4),化简：移项，平方后可得,(,c,2,a,2,),x,2,a,2,y,2,a,2,(,c,2,a,2,).,8,(5),检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程,；以方程,的解,(,x,，,y,),为坐标的点到双曲线两个焦点,(,c,，,0),，,(,c,，,0),的距离之差的绝对值为,2,a,，即以方程,的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程,叫做双曲线的标准方程,.(,此步骤可省略,),9,思考,2,双曲线中,a,，,b,，,c,的关系如何？与椭圆中,a,，,b,，,c,的关系有何不同？,双曲线标准方程中的两个参数,a,和,b,，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里,b,2,c,2,a,2,，即,c,2,a,2,b,2,，其中,c,a,，,c,b,，,a,与,b,的大小关系不确定；而在椭圆中,b,2,a,2,c,2,，即,a,2,b,2,c,2,，其中,a,b,0,，,a,c,，,c,与,b,大小不确定,.,答案,10,梳理,(1),两种形式的标准方程,焦点所在的坐标轴,x,轴,y,轴,标准方程,_,_,图形,焦点坐标,_,_,a,，,b,，,c,的关系式,_,F,1,(,c,，,0),，,F,2,(,c,，,0),F,1,(0,，,c,),，,F,2,(0,，,c,),a,2,b,2,c,2,11,(2),焦点,F,1,，,F,2,的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型,.,“,焦点跟着正项走,”,，若,x,2,项的系数为正，则焦点在,上；若,y,2,项的系数为正，那么焦点在,上,.,(3),双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为,Ax,2,By,2,1(,AB,0).,(4),标准方程中的两个参数,a,和,b,，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的,b,2,与椭圆中的,b,2,相区别,.,a,2,c,2,x,轴,y,轴,c,2,a,2,12,题型探究,13,类型一双曲线的定义及应用,命题角度,1,双曲线中焦点三角形面积问题,解答,14,得,a,3,，,b,4,，,c,5.,由定义和余弦定理得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,6,，,|,F,1,F,2,|,2,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|cos 60,，,所以,10,2,(|,PF,1,|,|,PF,2,|),2,|,PF,1,|,PF,2,|,，,所以,|,PF,1,|,PF,2,|,64,，,15,引申探究,本例中若,F,1,PF,2,90,，其他条件不变，求,F,1,PF,2,的面积,.,解答,由双曲线方程知,a,3,，,b,4,，,c,5,，,由双曲线的定义得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,6,，,所以,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|,36,，,在,Rt,F,1,PF,2,中，由勾股定理得,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,|,F,1,F,2,|,2,(2,c,),2,100,，,将,代入,得,|,PF,1,|,PF,2,|,32,，,16,求双曲线中焦点三角形面积的方法,(1),方法一：,根据双曲线的定义求出,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,；,利用余弦定理表示出,|,PF,1,|,，,|,PF,2,|,，,|,F,1,F,2,|,之间满足的关系式；,通过配方，利用整体的思想求出,|,PF,1,|,PF,2,|,的值；,反思与感悟,17,(2),方法二：,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,的变形使用，特别是与,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,，,|,PF,1,|,PF,2,|,间的关系,.,18,解答,19,在,MF,1,F,2,中，由余弦定理，,得,|,F,1,F,2,|,2,|,MF,1,|,2,|,MF,2,|,2,2|,MF,1,|,MF,2,|cos,.,|,F,1,F,2,|,2,4,c,2,，,|,MF,1,|,2,|,MF,2,|,2,(|,MF,1,|,|,MF,2,|),2,2|,MF,1,|,MF,2,|,4,a,2,2|,MF,1,|,MF,2,|,，,式化为,4,c,2,4,a,2,2|,MF,1,|,MF,2,|(1,cos,),，,20,当,|,PF,1,|,|,PF,2,|,3,时，,|,PF,1,|,|,PF,2,|,30).,判断：若,2,a,2,c,|,F,1,F,2,|,，满足定义，则动点,M,的轨迹就是双曲线，且,2,c,|,F,1,F,2,|,，,b,2,c,2,a,2,，进而求出相应,a,，,b,，,c,.,根据,F,1,，,F,2,所在的坐标轴写出双曲线的标准方程,.,25,跟踪训练,2,下列命题是真命题的是,_.(,将所有真命题的序号都填上,),已知定点,F,1,(,1,，,0),，,F,2,(1,，,0),，则满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,的点,P,的轨迹为双曲线；,已知定点,F,1,(,2,，,0),，,F,2,(2,，,0),，则满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,4,的点,P,的轨迹为两条射线；,到定点,F,1,(,3,，,0),，,F,2,(3,，,0),距离之差的绝对值等于,7,的点,P,的轨迹为双曲线；,若点,P,到定点,F,1,(,4,，,0),，,F,2,(4,，,0),的距离的差的绝对值等于点,M,(1,，,2),到点,N,(,3,，,1),的距离，则点,P,的轨迹为双曲线,.,答案,解析,26,6,，故点,P,的轨迹不存在；,点,M,(1,，,2),到点,N,(,3,，,1),的距离为,58,，故点,P,的轨迹是以,F,1,(,4,，,0),，,F,2,(4,，,0),为焦点的双曲线,.,27,类型二待定系数法求双曲线的标准方程,解答,28,解答,29,a,2,12,，,b,2,8.,30,31,待定系数法求方程的步骤,(1),定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是,x,轴还是,y,轴,.,(2),设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，,若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为,Ax,2,By,2,1 (,AB,0).,反思与感悟,(3),计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值,.,(4),结论：写出双曲线的标准方程,.,32,跟踪训练,3,根据条件求双曲线的标准方程,.,(1),c,，经过点,A,(,5,，,2),，焦点在,x,轴上；,解得,a,2,5,或,a,2,30(,舍,).,解答,33,设双曲线方程为,mx,2,ny,2,1(,mn,4,，,则,a,2,9,，,b,2,4),以正负分,a,，,b,(,如,1,中，,40,，,90,，则,a,2,4,，,b,2,9),a,，,b,，,c,的关系,a,2,b,2,c,2,(,a,最大,),c,2,a,2,b,2,(,c,最大,),39,解答,40,解答,41,类似的性质如下：,其证明过程如下：,设,P,(,x,，,y,),，,M,(,m,，,n,),，则,N,(,m,，,n,),，,42,故,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,位置无关的定值,.,43,当堂训练,44,2,3,4,5,1,由双曲线的定义得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,6,，,即,|3,|,PF,2,|,6,，解得,|,PF,2,|,9(,负值舍去,),，故选,B.,答案,解析,A.11 B.9 C.5 D.3,45,又由,|,F,1,F,2,|,10,可得,PF,1,F,2,是直角三角形，,答案,解析,2,3,4,5,1,46,3.,已知圆,C,：,x,2,y,2,6,x,4,y,8,0,，以圆,C,与坐标轴的交点分别作为双曲线,的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为,_.,令,x,0,，得,y,2,4,y,8,0,，方程无解，即该圆与,y,轴无交点,.,令,y,0,，得,x,2,6,x,8,0,，解得,x,2,或,x,4,，,则符合条件的双曲线中,a,2,，,c,4,，,b,2,c,2,a,2,16,4,12,，且焦点在,x,轴上，,答案,解析,2,3,4,5,1,47,4.,已知双曲线,2,x,2,y,2,k,(,k,0),的焦距为,6,，则,k,的值为,_.,2,3,4,5,1,6,或,6,答案,解析,48,由题易知，,k,0.,综上，,k,6,或,k,6.,2,3,4,5,1,49,2,3,4,5,1,答案,解析,50,规律与方法,1.,双曲线定义的理解,(1),定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支,.,设,F,1,，,F,2,表示双曲线的左，右焦点，,若,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,，则点,M,在右支上；,若,|,MF,2,|,|,MF,1,|,2,a,，则点,M,在左支上,.,(2),双曲线定义的双向运用：,若,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,(02,a,|,F,1,F,2,|),，则动点,M,的轨迹为双曲线,.,若动点,M,在双曲线上，则,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,.,51,2.,求双曲线标准方程的步骤,(1),定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式,.,(2),定量：是指确定,a,2,，,b,2,的数值，常由条件列方程组求解,.,特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为,mx,2,ny,2,1,的形式，为简单起见，常标明条件,mn,0.,52,
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