第4章-线性离散系统受迫振动课件

第2章 单自由度系统的振动,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章 受迫振动系统,船舶振动与噪声控制,船舶振动与噪声控制,4.1 单自由度系统,4.2 二自由度系统,4.3 多自由度系统,机械振动基础,第4章,线性离散系统的受迫振动,4.1 单自由度系统4.2 二自由度系统4.3 多自由度系统,4.1 单自由度系统的强迫振动,工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为,强迫振动,。,对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。,4.1 单自由度系统的强迫振动 工程振动中一,4.1.1,系统对于简谐激励的响应,对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为,（4-0）,首先考虑最简单的情况，即,简谐激励,情况，设,F,(,t,),有如下形式,图 单自由度模型,（,4-1,）,运动方程,4.1 单自由度系统的强迫振动,4.1.1 系统对于简谐激励的响应 对于上图所示的有,（,4-1,）,将（,4-1,）代入（,4-0,），两边同除以,m,有,（,4-2,）,当,A,为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫,瞬态响应,。,式（,4-2,）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为,稳态响应,。,4.1 单自由度系统的强迫振动,（4-1）将（4-1）代入（4-0），两边同除以m 有,（,4-3,）,将（,4-3,）代入方程（,4-2,），可得,（,4-4,）,利用三角函数关系,并令（,4-4,）式中 和 项的系数相等可得,（,4-5,）,设系统（,4-2,）的稳态响应有如下形式,稳态响应,4.1 单自由度系统的强迫振动,（4-3）将（4-3）代入方程（4-2），可得（4-4）利,（,4-6,）,（,4-7,）,将（,4-6,）、（,4-7,）代入（,4-3,）得到系统的,稳态解,。,解（,4-5,）式可得,4.1 单自由度系统的强迫振动,（4-6）（4-7）将（4-6）、（4-7）代入（4-3）,典型的激励与响应关系曲线如图所示。,将,f,(,t,),用复数形式表示:,图,简谐激励,f,(,t,),与响应,x,(,t,),曲线,（,4-8,）,f,(,t,),的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由,f,(,t,),的实部表示，当然，响应也应由,x,(,t,),的实部表示。式中,A,一般为复数。,4.1 单自由度系统的强迫振动,典型的激励与响应关系曲线如图所示。将 f(t)用复数形式表,系统的稳态响应,（,4-10,）,由上式可见，系统稳态响应,x,(,t,),与激振力,f,(,t,),成正比，且比例因子为,（,4-11,）,这称为,复频响应,.,在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系,（,4-9,）,4.1 单自由度系统的强迫振动,系统的稳态响应（4-10）由上式可见，系统稳态响应 x(t,可见 的模 等于响应幅值和激励幅值 的无量纲比，即,常称为,幅值因子,。,（,4-12,）,4.1 单自由度系统的强迫振动,可见 的模,图 简谐激励的响应,下图给出了在不同阻尼比 下 与 的关系曲线。,从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于 的位置左移。,4.1 单自由度系统的强迫振动,图 简谐激励的响应 下图给出了在不同阻尼比,（,4-13,）,当,=,0,时，在,=,n,处,H,(,),不连续。,对（,4-12,）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的,值,当,=,0,时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是,简谐振子,。,当驱动频率,趋近于系统的自然频率,n,时，简谐振子的响应趋于无穷，这种状态称为,共振,，系统会发生剧烈振动。,4.1 单自由度系统的强迫振动,（4-13）当=0时，在 =n处H(),值得注意的是，当,=,n,时，（,2-10,）式所表示的解已不适用了，必须对系统（,2-2,）重新求解。,在微小阻尼情况下，如,0,.,05,，,H,(,),的极大值的位置几乎与,/,n,=,1,相差无几，引入符号,H,(,),max,=,Q,，在微小阻尼情况下，有,（,4-14,）,品质因子,Q,（,4-2,）,Q,通常称为,品质因子,。,4.1 单自由度系统的强迫振动,值得注意的是，当=n 时，（2-10）,另外，在工程上,H,(,),常将取值为 的两点,P,1,和,P,2,称为,半功率点,。半功率点所对应频率之差称为,半功率点带宽,，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽,取如下值,（,4-15,）,比较（,4-14,）和（,4-15,）式，可得,（,4-16,）,（,4-16,）式给出了一种快速估计,Q,和,值的方法。,4.1 单自由度系统的强迫振动,另外，在工程上H()常将取值为,下面将注意力转到相角上来，由（,4-11,）和（,4-12,）式，不难得到,（,4-17,）,这里,（,4-18,）,根据（4-17）式和（4-18）式，（4-16）式可写为,（,4-19,）,相角,4.1 单自由度系统的强迫振动,下面将注意力转到相角上来，由（4-11）和（,第4章-线性离散系统受迫振动课件,从（4-19）式和上图可以看出:,对应于不同,值的所有曲线均在,/,n,=,1,处通过共同点,对于,/,n,1,情况随,/,n,减小，相角趋于零。,对于,/,n,1,情况，随,/,n,增大，相角趋于,。,即,/,n,1,时响应同相，,/,n,1,时响应反相。,4.1 单自由度系统的强迫振动,可见，受迫振动的振幅在共振点前后相位出现突变，这一反常现象，常被用来作为判断系统是否出现共振的依据。,从（4-19）式和上图可以看出:对应于不同值的所有曲,方程,（4-20）,也清楚地表明简谐振子在驱动频率,趋近于自然频率,n,时，响应变为无穷大。,（4-20）,4.1 单自由度系统的强迫振动,方程（4-20）也清楚地表明简谐振子在驱动频率 趋近于自然,考虑两个激励 和 ，并设 和 分别为对应于 和 的响应，则有,接下来考虑 为 和 的线性组合，即,4.1 单自由度系统的强迫振动,叠加原理,考虑两个激励 和,则称系统是线性的，否则系统是非线性的。,很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。,如果 的响应 满足,4.1 单自由度系统的强迫振动,则称系统是线性的，否则系统是非线性的。很明显，,4.1.2,系统对周期激励的响应,在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。利用,Fourier,级数展开的方法，可以将周期为,T,的任何函数展成如下形式,和 由右式求得,4.1 单自由度系统的强迫振动,4.1.2 系统对周期激励的响应 在工程振,而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项,故系统的稳态响应为：,由解的表达式可看出，对于周期激励的响应 也是周期的，且与 有同样的周期。另外，当某个激振频率接近系统的自然频率 时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振。,而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项,故系统的稳,4.1 单自由度系统,4.2 二自由度系统,4.3 多自由度系统,机械振动基础,第4章 受迫振动系统,4.1 单自由度系统4.2 二自由度系统4.3 多自由度系统,4.2 二自由度系统的强迫振动,有阻尼二自由度系统为,设简谐激振力为,相应的系统的稳态解可表示为,其中，,X,1,，,X,2,一般为与激振力频率,和系统参数有关的复数。,简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应,4.2 二自由度系统的强迫振动有阻尼二自由度系统为设简谐,代入,方程,式，得两个代数方程,引入表达式,这里函数 称为机械阻抗，,方程,可以改写成比较紧凑的矩阵形式,其中 称为阻抗阵，为位移幅值列向量，为激振力幅值列向量。,4.2 二自由度系统的强迫振动,代入方程式，得两个代数方程引入表达式 这里函数,解得,其中,由此得,4.2 二自由度系统的强迫振动,(4-23),解得其中由此得4.2 二自由度系统的强迫振动(4-23),当系统无阻尼且 时，方程,变为,(4-24),将方程,(4-24),代入,(4-23),中，可得,对于一组给定的系统参数，由,上,式可给出系统响应幅值随激振频率的变化曲线频响曲线。,4.2 二自由度系统的强迫振动,(4-25),当系统无阻尼且 时，方程,第4章-线性离散系统受迫振动课件,方程,(4-25),变为,(a),式,(a),中，和 表达式的分母为特征行列式,(b),其中,(c),解：,4.2 二自由度系统的强迫振动,方程(4-25)变为(a)式(a)中，和,为系统自然频率的平方，这样,(a),式可以写为如下形式,(d),系统的频响曲线，即 和 随 的变化曲线如图。,4.2 二自由度系统的强迫振动,为系统自然频率的平方，这样(a)式可以写为如下形式 (d),无阻尼系统振动特性,频率,振幅,相位,反共振特性,无阻尼系统振动特性频率,4.1 单自由度系统,4.2 二自由度系统,4.3 多自由度系统,机械振动基础,第4章 受迫振动系统,4.1 单自由度系统4.2 二自由度系统4.3 多自由度系统,4.3 多自由度系统的受迫振动,对简谐系统的响应,无阻尼系统：直接法,有阻尼系统：模态法,4.3 多自由度系统的受迫振动对简谐系统的响应,谢谢大家,谢谢大家,