圆的标准方程

4.1,圆的方程,4.1.1,圆的标准方程,第四章 圆与方程,生活中的圆,4.1.1,圆的标准方程,r,C,平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆,.,定点,就是圆心，,定长,就是半径,.,圆的定义：,4.1.1,圆的标准方程,1.,思考,在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,分析：,因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径。,显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了。,4.1.1,圆的标准方程,如图，在直角坐标系中，圆心,C,的位置用坐标,(,a,b,),表示，半径,r,的大小等于圆上任意点,M,(,x,y,),与圆心,C,(,a,b,),的距离,|,MC,|=,r,则,圆上所有点的集合,P,=,M,|,MC,|=,r,4.1.1,圆的标准方程,圆心是,C(,a,b,),半径是,r,求圆的方程,.,M(x,y),y,x,o,C,把上式两边平方得：,由两点间的距离公式，点,M,适合的条件可表示为：,注意：,1.,圆的标准方程,2.,若圆心为,O,（,0,，,0,），则圆的方程为：,4.1.1,圆的标准方程,把点,例,1,写出圆心为,A(2,-3),半径长等于,5,的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上,.,的坐标代入方程,解,:,所求的圆的标准方程是,左右两边相等，点的坐标适合方程,所以点,在这个圆上,.,4.1.1,圆的标准方程,A,x,y,O,M,2,M,1,把点,的坐标代入方程,左右两边不相等，,点的坐标不适合方程,所以点,不在这个圆上,.,4.1.1,圆的标准方程,A,x,y,o,M,1,M,3,M,2,如果设点,M,到圆心的距离为,d,则可以看到：,点在圆内,d,r,；,点在圆上,d=,r,；,点评：,点与圆的位置关系,4.1.1,圆的标准方程,练习,1,：,已知圆,O,的方程为 判断下面的,点 在圆内、圆上、还是圆外？,解：,因为,所以点,在圆上,；,因为,所以点,在圆内,；,因为,所以点,在圆外。,4.1.1,圆的标准方程,答案：,练习,2,：,指出下列方程表示的圆心坐标和半径：,(1)(x+2),2,+(y-2),2,=9 (2)(x+1),2,+(y+2),2,=a,2,(1)(-2,2),r=3,(2)(-1,-2),r=|a|,4.1.1,圆的标准方程,练习,3,：,写出下列各圆的方程：,(1),圆心在点,C(3,4),，半径是,(2),经过点,P(5,1),圆心是点,C(8,-3),答案：,4.1.1,圆的标准方程,例,2,的三个顶点的坐标分别为,A,(5,1),B,(7,3),，,C,(2,8),，求它的外接圆的方程,解：,设所求圆的方程为：,因为,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是,所求圆的方程为,如何计算？,4.1.1,圆的标准方程,练习：,已知 的顶点坐标分别为,求 外接圆的方程,解：,设所求圆的方程为：,因为,A(4,0),B(0,3),O(0,0),都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是,所求圆的方程为,4.1.1,圆的标准方程,例,3.,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1),和,B,(2,2),，且圆心,C,在直线,l,：,x,y,+1=0,上，求圆心为,C,的圆的标准方程,.,O,C,A,(,1,1,),B,(,2,-,2,),x,y,4.1.1,圆的标准方程,解：,因为,A(1,1),和,B(2,2),，所以线段,AB,的中点,D,的坐标,直线,AB,的斜率,:,因此线段,AB,的垂直平分线 的方程是,即,x,y,O,C,A,(,1,1,),B,(,2,-,2,),D,l,4.1.1,圆的标准方程,解方程组,得,所以圆心,C,的坐标是,圆心为,C,的圆的半径长,所以，圆心为,C,的圆的标准方程是,4.1.1,圆的标准方程,C,x,y,O,A,(,5,1,),B,(,7,-,3,),D,(,2,-,8,),圆心：两条,直线的交点,半径：圆心,到圆上一点,例,2,的三个顶点的坐标分别为,A,(5,1),B,(7,3),，,C,(2,8),，求它的外接圆的方程,其他方法？,4.1.1,圆的标准方程,思考：,比较例,2,和例,3,，你能归纳求任意 外接圆的方程的两种方法吗？,两种方法：,待定系数法；,数形结合法,4.1.1,圆的标准方程,1.,圆心为,C(a,b),，半径为,r,的圆的标准方程为,当圆心在原点时,a=b=0,，圆的标准方程为：,2.,由于圆的标准方程中含有,a,b,r,三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。,3.,注意圆的平面几何知识的运用。,4.1.1,圆的标准方程,作业布置：,P124 2,3,4,4.1.1,圆的标准方程,