教育专题：最短路径问题yong

,学习新知,检测反馈,13.4,课题学习 最短路径问题,学 习 新 知,灰太狼从羊村落魄回来途中,不小心掉进脏水坑,为了不让同伴看到自己落魄不堪的样子,于是决定去河边先洗个澡,冲洗掉身上的脏物,然后再回家,如图所示,请你设计一种路线,教教可怜的灰太狼,告诉它走哪条路线回家最近,.,问题,1,(,河边饮马问题,),如图所示,牧马人从,A,地出发,到一条笔直的河边,L,饮马,然后到,B,地,.,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短,?,思考,如果点,A,和点,B,分别位于直线,l,的异侧,如何在直线,l,上找到一点,使得这个点到点,A,和点,B,的距离的和最短,?,连接,AB,与直线,l,相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求,.,思考,如果点,A,和点,B,位于直线,l,的同侧,如何在直线,l,上找到一点,使得这个点到点,A,和点,B,的距离的和最短,?,B,C,C,怎样证明,AC+CBAC+CB,?,【总结方法】,找出其中某一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点,与直线的交点即为所求,证明时要利用三角形三边的关系来证明,.,问题,2,(,造桥选址问题,),如图所示,A,和,B,两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥,MN.,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短,?(,假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直,.,),思考,(2),无论点,M,N,在什么位置,MN,的长度是否发生变化,?,为什么,?,(1),要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小,?,M,N,(1),过,A,作河岸,a,的垂线,AH,，垂足为,H,;,(2),在,AH,上取点,I,，使,AI,等于河宽,(3),连,接,IB,交河的,b,边岸于,N,，作,MN,垂直于河岸交,a,边的岸于,M,点，所得,MN,即为所求,确定桥的选址,H,I,证明,:,AM+MN+NBAM,+MN+NB,.,又,MN=MN,所以,AM+MN+NBAM+MN+NB.,证明,:,因为,ABAN+NB,所以,AN+NBAM+NB.,又因为,AM=AN,所以,AM+NBAM+NB.,最短路径问题,常用的方法是借助,轴,对称,的知识转化,利用“,两点之间,线段,最,短,”来求线段和的最小值,从而解决最,短,路径问题,.,的,点,P,的位置应满足的条件,是,(,),A.,点,P,为点,A,到直线,l,的垂线的垂足,B.,点,P,为点,B,到直线,l,的垂线的垂足,C.,PB,=,PA,D.,PB,=,AB,检测反馈,1.,点,P,是直线,l,上的一点,线段,AB,l,能使,PA,+,PB,取得最小值,解析,:,如图所示,作点,A,关于直线,l,的对称点,A,连接,AB,与直线,l,的交点即为使,PA+PB,取得最小值的点,P.,由轴对称的性质得,PA=PA,A=,PAA,线段,AB,l,AA,直线,l,AA,AB,PAA+,PAB=,90,A+,B=,90,PAB=,PBA,PA=PB.,故选,C,.,C,2.,如图所示,直线,m,表示一条河,点,M,N,表示两个村庄,欲在,m,上的某处修建一个给水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是,(,),解析,:,作点,M,关于直线,m,的对称点,P,连接,NP,交直线,m,于,P.,根据两点之间,线段最短,可知选项,D,铺设的管道最短,.,故选,D,.,D,3.,如图所,示,在旷野上,一个人骑着马从,A,到,B,半路上他必须先到河岸,l,的,P,点让,马,饮水,然后再到河岸,m,的,Q,点让马再次饮水,最后到达,B,点,他应该如何选择饮马地点,P,Q,才能使所走路程,AP,+,PQ,+,QB,为最短,(,假设河岸,l,m,为直线,)?,解,:,如图所示,作,A,点关于直线,l,的对称点,A,B,点关于直线,m,的对称点,B,连接,AB,交,l,于点,P,交,m,于点,Q,连接,AP,BQ,所以路程,AP+PQ+BQ,最短,.,