线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,二次型的,标准形和规范形,第二节,1,.,2,.,一、二次型的标准形,定义,下面介绍二次型化为标准形的方法。,3,.,1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形,拉格朗日配方法的基本步骤：,2.若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同,样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线,性变换，就得到标准形;,4,.,例1,用配方法化二次型,解,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,含有平方项,去掉配方后多出来的项,5,.,标准形为,所用变换矩阵为,6,.,例2,用配方法化二次型,解,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,所给二次型中无平方项，所以先作线性变换,原二次型化为,7,.,再配方，得,标准形为,8,.,所用变换矩阵为,对应的线性变换为,9,.,2、用正交变换法化二次型为标准形,定理,任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。,而由正交阵性质可知，,因此这样的正交,10,.,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,11,.,例3,用正交变换将二次型,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,12,.,13,.,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,正交化，,14,.,于是所求正交变换为,标准形为,15,.,例4,用正交变换将二次型,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,16,.,17,.,18,.,正交化，,19,.,20,.,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,所作正交变换为,标准形为,21,.,例5,解,22,.,由题意,这两个矩阵相似,23,.,二、二次型的规范形,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。,但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。,24,.,定理(惯性定理),p,为正惯性指数,正负惯性指数的差,称为二次型的,符号差,.,为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称,正惯性指数,)和负的系数个数(称,负惯性指数),唯一确定.,25,.,继续作可逆线性变换,矩阵形式为,26,.,二次型化为,称之为二次型的,规范形,.,定理,任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.,化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。,27,.,练习：,P222,习题五,28,.,END,END,29,.,选用例题,1、用配方法化二次型,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,解,所给二次型中无平方项，所以先作线性变换,30,.,所用可逆线性变换为,31,.,化为标准型，并指出 表示何种二次,曲面.,2、求一正交变换，将二次型,解,对应特征向量为,32,.,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,二次型的标准形,33,.,