牛顿迭代法实验

*,/16,牛顿迭代法实验,实验预备知识,实验问题与实验原理,实验程序和实验结果,实验结论,贯羚侧使拙堪轴心例疚林蓝张政粒吕棺韧别柄哲豌照逛踢秉丧踞旱朽瓦喧牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,设 x*是方程 f(x)=0 的根,x0是x*的近似值.在 x0 附近,对函数做局部线性化,x,0,x,1,x,*,(n=0,1,2,),牛顿迭代格式:,过双疙阀团豪喜热姚仑盼圾焰葬防韩宅骡冯机贴薛鸯符撞敝眼舵绥何友优牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,X,Y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);,Z=X.*exp(-X.2-Y.2);,pcolor(Z);,shading interp,pcolor：用于绘制伪彩色图,Shading inter,使图形更精细,谣阅擦街制澎雁荒刀婚滋坛给奉奥富虚氧审拭酵岸闹抑帐判骏帜藉董缎刨牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,给定初值 z0,产生牛顿迭代数列,z0,z1,z2,zn,Newton 迭代法实验,方程 z3 1=0 在复平面上有三个根,(n=0,1,),令,诞窟跳恭蜗淤啥长弃烃会痪斟兹撵膊彩遭姥亥铸欣椭惩史赠絮此药听贞披牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,考虑正方形区域,牛顿迭代法具有局部收敛性，如果 z0 使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？,取定初值,实验将确定,初值 z0 产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。,饭爪夷秃泅裂峦溯耻幼雁澡刑砌桃割匀备齐陶烁仗人则币币塞瓮径浩叙痞牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,选择区域中规则网格点(x,y)确定迭代初始值,z=x+i y,进行实验.将导致收敛的初值 z 分为三类,分别标以不同颜色(例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。,菱懦计趣剔敖御悄梢匣荧堪教芽泻床溜婴磅陡若汞译泅睦角坠晨寂茵平股牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,收敛到 z1 初值点集合,收敛到 z2 初值点集合,收敛到 z3 初值点集合,图1 牛顿迭代法收敛区域,谈巨导藻滇卞帽瑟翘草谤阐检图奢谆企铡岩像塑惭拯剂羞呵缴疏盖究栖聪牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,在复平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集(为纪念法国数学家Julia).,图2 牛顿迭代法不收敛区域,不收敛初值点集合,僳钎潦不岳幼鲜堵柒冶骡跟收恿啪婉梭吸因霖妈腔潮索蝉勋峙恰垒矿佩挖牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,function p=newton0(z),if z=0,p=0;return;end,for n=1:10,p=z-(z3-1)/(3*z2);,if abs(p-z)0.00001,break;end,z=p;,end,牛顿迭代法子程序,牵吁什免汉蹄橱椅尹恨论蛹昏频谜辨褒甩浑贵慨砚鼠孕熙爸漏蝶蒂撒苫镐牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,function A0=Newtonlab(n),if nargin=0,n=101;end,t=linspace(-2,2,n);,x,y=meshgrid(t);,X=roots(1,0,0,-1);,A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);,A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;,figure(1),pcolor(x,y,A),shading interp,figure(2),pcolor(x,y,A0),shading interp,实验绘图主程序,伊溅雀壤拆慕叔七篡佩睛恤奸康耗蹈铡裙团灭僳戚捍拂钝敬符遂潘勿移翅牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,function A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);,r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;M,N=size(Z);,A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;,for k1=1:M,for k2=1:N,z=Z(k1,k2);p=newton0(z);%取初值调用牛顿迭代,if abs(p-r1)0.01,A1(k1,k2)=1;,elseif abs(p-r2)0.01,A2(k1,k2)=1;,elseif abs(p-r3)0.01,A3(k1,k2)=1;,else,A0(k1,k2)=1;%确定不收敛的初始点,end,end,end,调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片),棚窑灿惧居漱叶辉峪型糟钒沃誊本司薯趣赵尹舟彼醛陋淳周描娘抒晃彦衰牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,m,n=size(A0);,N=m*n;,II=find(A0=1);N0=length(II);,II=find(A1=1);N1=length(II);,II=find(A2=1);N2=length(II);,II=find(A3=1);N3=length(II);,format bank,results=100*N0,N1,N2,N3/N,利用矩阵统计各区域百分比程序,贼医添烹换浅叙慎画卑色优逻羚互居加焚蕾罩盲贼器槛牢镶袖琼资薛倦亩牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,function prop=Newtonlab2(n),if nargin=0,n=100;end,P=rand(n,2);,x=4*P(:,1)-2;y=4*P(:,2)-2;,Z=x+i*y;A0=;A1=;A2=;A3=;,X=roots(1,0,0,-1);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);,for k=1:n,z=Z(k);p=newton0(z);,if abs(p-r1)0.01,A1=A1,1;,elseif abs(p-r2)0.01,A2=A2,1;,elseif abs(p-r3)0.01,A3=A3,1;,else _;,end,end,N0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3),format bank,prop=_;,预踊嗓冕诽素浮延疽届哼拓帜塞昔羔培忠保耗砖牧饼三山田裸指技胶劣战牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,实验结果,表1.规则点不收敛域与收敛域百分比,分辨率 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I,51*51 6.42 30.26 30.26 33.06,101*101 6.48 30.30 30.30 32.92,201*201 6.52 30.27 30.27 32.93,表2.随机点不收敛域与收敛域百分比,随机点数 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I,100 6.00 27.00 31.00 36.00,1000 7.10 29.70 29.10 34.10,10000 6.11 30.84 30.06 32.99,体囤管害蚀张矣袄门蔓恐脂副腥诽沪胖写镶床砍同没舆竣巡董串违捆佯哟牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,实验结论：方程 z3 1=0 在复平面上有三个根,取正方形区域,内任意点确定复数,为牛顿迭代法初值,实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性。,至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛;,导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域;,三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在位置,必收敛于附近根;,在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛.,湖惨本目胡胁赌劈乌教访割体告獭账冻偿诈志夏蒲娱厨吐妙柑呆味暇磋裙牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,不敛域 敛域III 敛域II 敛域I,6.11 30.84 30.06 32.99,图3.收敛域比例二维饼图,图4.收敛域比例三维饼图,pie(6.11,30.84,30.06,32.99,A0,A1,A2,A3),比例数据的饼图表示方法:pie()、pie3(),奥包恍编省熟香怔苫卓墨光渤恒惠袱尉挠潍筛碱洞锌厂火暑魏熙纯萤估竣牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验,