资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章函数,第,12,讲 二次函数的图象和性质,1,考点梳理,过关,考点,1,二次函数的概念及表示方法,概念,一般地,，,形如,y,ax,2,bx,c,(,a,，,b,，,c,是常数,，,a,0),的函数,，,叫做二次函数,表示方法,(1),一般式：,y,ax,2,bx,c,(,a,，,b,，,c,是常数,，,a,0),；,(2),顶点式：,y,a,(,x,h,),2,k,(,a,，,h,，,k,是常数,，,a,0),，,其中二次函数的顶点坐标是,(,h,，,k,),；,(3),交点式：,y,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,),(,a,，,x,1,，,x,2,是常数,，,a,0),，,其中,x,1,，,x,2,为抛物线与,x,轴交点的横坐标,提示,(1)二次项系数a0；(2)ax,2,bxc必须是整式；(3)一次项系数可以为零，常数项也可以为零，一次项系数和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数,2,考点,2,二次函数的图象及性质,6年4考,1二次函数的图象及性质,3,2.抛物线yax2bxc(a0)的位置与a，b，c的关系,4,1当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的表达式为yax,2,bxc(a0)，然后列三元一次方程组求解,2当已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最值时，通常设表达式为ya(xh),2,k(a0)，然后求解,3当已知抛物线与x 轴的交点坐标时，通常设表达式为ya(xx,1,)(xx,2,)(a0)，然后求解,考点,3,二次函数表达式的确定,6年1考,5,考点,4,二次函数图象的平移,抛物线yax,2,与ya(xh),2,，yax,2,k，ya(xh),2,k中a相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如图：,6,考点,5,二次函数与一元二次方程,1一元二次方程ax,2,bxc0(a0)的解也就是二次函数yax,2,bxc( a0)图象与x轴(即y0),交点,的横坐标,2二次函数图象和一元二次方程的关系,7,典型例题,运用,类型,1,抛物线的位置与系数的关系,【例1】,2016枣庄中考如图，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下四个结论：abc0，abc0，ab，4acb20.其中正确的结论有(),A1个 B2个 C3个 D4个,失分警示,根据二次函数的图象确定有关代数式的符号是二次函数中一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意开口方向与a的关系，抛物线与y轴的交点与c的关系，对称轴与a，b的关系，抛物线与x轴交点数目与b24ac的符号的关系,C,8,C二次函数yax2bxc图象经过原点，c0，abc0，正确x1时，y0，abc0，不正确抛物线开口向下，a0.抛物线的对称轴是x ， ，b0，b3a.又a0，b0，ab，正确二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点，0，b24ac0，即4acb20，正确综上，可得正确结论有3个，即.,9,类型,2,二次函数的性质,【例,2,】,2017泰安中考已知二次函数yax,2,bxc的y与x的部分对应值如下表：,x,1,0,1,3,y,3,1,3,1,下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为x1；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax,2,bxc0有一个根大于4，其中正确的结论有(),A1个 B2个 C3个 D4个,技法点拨,1.求二次函数图象顶点坐标一般用配方法得顶点式，直接得出顶点坐标；或代入顶点坐标公式( ， )；,已知对称轴xm时，顶点横坐标就是m，将其代入解析式，即可求得顶点纵坐标,2抛物线的顶点坐标、对称性、增减性是考查抛物线及其图象性质的重点应用数形结合思想使解题更加直观，比如当x1时，判断abc的符号，当x1时，判断abc的符号,B,10,B根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x ，再由图象中的数据可以得到当x 时取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，然后根据x0时，y1，x1时，y3，可以得到方程ax,2,bxc0的两个根所在的大体位置，从而可以判断正确，错误，正确，错误，故选B.,11,类型,3,二次函数图象的平移,【例,3,】,2017丽水中考将函数yx,2,的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是(),A向左平移1个单位 B向右平移3个单位,C向上平移3个单位 D向下平移1个单位,【,思路分析,】,A平移后，得y(x1),2,，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y(x3),2,，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得yx,2,3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得yx,2,1，图象不经过A点，故D符合题意,D,技法点拨,抛物线的平移就是将抛物线表达式转化为顶点式ya(xh),2,k，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变(即a值不变)，平移顶点坐标(h，k),12,类型,4,确定二次函数的解析式,【例3】,2017齐齐哈尔中考如图，已知抛物线yx,2,bxc与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点,(1)求此抛物线的解析式；,(2)直接写出点C和点D的坐标；,(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S,ABP,4S,COE,，求P点坐标,注：二次函数yax,2,bxc(a0)的顶点坐标为( ， ）,.,思路分析：,(1)将A，B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b，c的值，进而可得到抛物线的解析式；(2)令x0，可得C点坐标将函数解析式配方即得抛物线的顶点D的坐标；(3)设P(x，y)(x0，y0)，根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标,13,解：(1)将点A(1,0)和点B(3,0)代入yx,2,bxc，,抛物线的解析式为yx,2,2x3.,(2)令x0，则y3，C(0,3),yx,2,2x3(x1),2,4，,D(1,4),(3)设P(x，y)(x0，y0)，,由题意，得OC3，AB4.,y3.x,2,2x33.,解得x,1,0(不合题意，舍去)，x,2,2.,P(2,3),14,技法点拨,1.当条件中a，b，c其中一个系数为已知时，一般选择一般式求解；如果已知对称轴、顶点、最值时，选择顶点式；如果已知抛物线与x轴交点时，选择交点式,2求函数图象构成的几何图形面积，通常利用平行于坐标轴的直线将几何图形分割成规则的三角形或者梯形求解,15,六年真题,全练,命题点,二次函数的图象与性质,12012河北，12,3分如图，抛物线y,1,a(x2),2,3与y,2,(x3),2,1交于点A(1,3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：无论x取何值，y,2,的值总是正数；a1；当x0时，y,2,y,1,4；2AB3AC.其中正确结论是(),A B C D,抛物线y,2, (x3),2,1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，无论x取何值，y,2,的值总是正数，故正确；把A(1,3)代入抛物线y,1,a(x2),2,3，得3a(12),2,3，解得a ，故错误；由知a ，当x0时，y,1, (02),2,3 ，y,2, (03),2,1 ，故y,2,y,1, ，故错误；抛物线y,1, (x2),2,3与y,2, (x3),2,1交于点A(1,3)，y,1,的对称轴为x2，y,2,的对称轴为x3，B(5，3)，C(5,3)，AB6，AC4，2AB3AC，故正确,16,22013河北，20,3如图，一段抛物线yx(x3)(0x3)，记为C,1,，它与x轴交于点O，A,1,；将C,1,绕点A,1,旋转180得C,2,，交x轴于点A,2,；将C,2,绕点A,2,旋转180得C,3,，交x轴于点A,3,；如此进行下去，直至得C,13,.若P(37，m)在第13段抛物线C,13,上，则m,.,2一段抛物线yx(x3)(0x3)，图象与x轴交点坐标为(0,0)，(3,0)将C,1,绕点A,1,旋转180得C,2,，交x轴于点A,2,；将C,2,绕点A,2,旋转180得C,3,，交x轴于点A,3,；如此进行下去，直至得C,13,，C,13,的解析式与x轴的交点坐标为(36,0)，(39,0)，且图象在x轴上方，C,13,的解析式为y,13,(x36)(x39)，当x37时，y(3736)(3739)2，即m2.,17,32015河北，25,11分如图，已知点O(0,0)，A(5,0)，B(2,1)，抛物线l：y(xh),2,1(h为常数)与y轴的交点为C.,(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；,(2)设点C的纵坐标为y,C,，求y,C,的最大值，此时l上有两点(x,1,，y,1,)，(x,2,，y,2,)，其中x,1,x,2,0，比较y,1,与y,2,的大小；,(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是14时，求h的值,解：(1)把点B的坐标(2,1)代入y(xh),2,1，得1(2h),2,1.,解得h2.,则该函数解析式为y(x2),2,1(或yx,2,4x3),故抛物线l的对称轴为直线x2，顶点坐标是(2,1),18,(2)点C的横坐标为0，则y,C,h,2,1.,当h0时，y,C,有最大值1，,此时，抛物线l为yx,2,1，对称轴为y轴，开口方向向下，,所以，当x0时，y随x的增大而减小，,所以，当x,1,x,2,0时，y,1,y,2,.,(3)线段OA分为两部分，且这两部分的比是14，且O(0,0)或A(5,0)，,把线段OA分为两部分的点的坐标分别是(1,0)或(4,0),把x1，y0代入y(xh),2,1，,得0(1h),2,1，,解得h,1,0或h,2,2.,但是当h2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去,同样，把x4，y0代入y(xh),2,1，,得h5或h3(舍去),综上所述，h的值是0或5.,19,42014河北，24,11分如图，22网格(每个小正方形的边长为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点抛物线l的解析式为y(1),n,x,2,bxc(n为整数),(1)n为奇数，且l经过点H(0,1)和C(2,1)，求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；,(2)n为偶数，且l经过点A(1,0)和B(2,0)，通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上；,(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数,解：(1)n为奇数时，yx,2,bxc，,l经过点H(0,1)和C(2,1)，,抛物线解析式为yx,2,2x1，,即y(x1),2,2.,格点E(1,2)为该抛物线的顶点,20,(2)n为偶数时，yx,2,bxc.,l经过点A(1,0)和B(2,0)，,抛物线解析式为yx,2,3x2.,当x0时，y21，,点F(0,2)在该抛物线上，点H(0,1)不在该抛物线上,(3)所有满足条件的抛物线共有8条,当n为奇数时，由(1)中的抛物线平移又得到3条抛物线，如图1所示；,当n为偶数时，由(2)中的抛物线平移又得到3条抛物线，如图2所示,21,猜押预测,若二次函数yax,2,bxc(a0)的图象如图所示，且关于x的方程ax,2,bxck有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是(),A0k4B3k1,Ck3或k1 Dk4,答案：,D,22,
展开阅读全文