81三角形的角和边

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,2B_Ch8(,1,),8.1,三角形的角和邊,A,三角形的外角,B,等腰三角形,C,等邊,三角形,2B_Ch8(,2,),目錄,A,多邊形的內角和,B,多邊形的外角和,C,可密舖,平面的正多邊形,簡介,2B_Ch8(,3,),目錄,8.2,多邊形的角,A,數學的欣賞：以最少工具作圖,B,角,平分線的作圖法,C,垂直平分線的作圖法,D,特殊角的作圖法,E,正,多邊形的作圖法,2B_Ch8(,4,),目錄,8.3,基本幾何作圖,三角形的外角,8.1,三角形的角和邊,1.,參看下圖，,我們稱,c,為,ABC,的,內角,而,c,1,就稱為三角形的,外角,。,A),2B_Ch8(,5,),目錄,2.,三角形的一個外角等於兩個內對角的和，,即,c,1,=,a,+,b,。,【,簡記：,外角,】,例題演示,目錄,8.1,2B_Ch8(,6,),目錄,8.1,三角形的角和邊,三角形的外角,A),求右圖中的,p,。,p,= 50,+ 70,外角,= 120,2B_Ch8(,7,),目錄,8.1,三角形的角和邊,求右圖中的,。,外角,BCD,=,+ 30,= ,BCD, 30,= 45, 30,= 15,2B_Ch8(,8,),目錄,8.1,三角形的角和邊,圖中,ABCD,和,CEF,都是直線。求,m,。,使用圖中記號，可得,b,= 90,a,+ 140,= 180,直線上的鄰角,a,= 40,b,+ 90,= 180,直線上的鄰角,2B_Ch8(,9,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在,BCE,中，,m,=,a,+,b,外角,= 40,+ 90,= 130,返回問題,2B_Ch8(,10,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,利用三角形外角性質，求只涉及一個三角形的圖形中的未知量。,在圖中，,QTP,、,QMR,、,PRS,和,TMS,都是直線。求,x,和,y,。,在,PQR,中，,x,= 73,+ 42,外角,= 115,在,MRS,中，,y,=,x,+ 35,外角,= 115,+ 35,= 150,2B_Ch8(,11,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,利用三角形外角性質，求涉及兩個或多個三角形的圖形中的未知量。,ABC,和,PQR,分別是兩把,45, 45, 90,和,30, 60, 90,的三角尺。它們如下圖般放置在一起，其中,BC,和,QR,在同一直線上。,求圖中兩斜邊相交所成的角,a,和角,b,。,2B_Ch8(,12,),目錄,8.1,三角形的角和邊,返回問題,ACB,= 45,PQR,= 60,= 60,+ 45,= 105,在,QSC,中，,a,= ,PQR,+ ,ACB,外角,a,+,b,= 180,直線上的鄰角,105,+,b,= 180,b,= 75,2B_Ch8(,13,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,涉及三角形外角的綜合題。,圖中是由五條相交直線所組成的五角星圖形。求所有標明的角的和。,用右圖中的記號，,=,a,+,b,+,c,+,d,+,e,=,a,+ (,b,+,d,) + (,c,+,e,),=,a,+,m,+,n,= 180,m,=,b,+,d,外角,n,=,c,+,e,外角,所有標明的角的和,內角和,重點理解,8.1.1,2B_Ch8(,14,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,涉及三角形外角的綜合題。,等腰三角形,1.,一個有兩條邊相等的三角形稱為,等腰三角形,。,B),例題演示,2.,等腰三角形的兩個,底角,相等。,即 在,ABC,，若,AB,=,AC,，,則,ABC,= ,ACB,。,【,簡記：,等腰,底角,】,2B_Ch8(,15,),目錄,8.1,三角形的角和邊,3.,一個等腰三角形是反射對稱圖形，它的對稱軸會,i.,平分,頂角,；,ii.,平分,底邊,；,iii.,垂直於底邊。,2B_Ch8(,16,),目錄,8.1,三角形的角和邊,等腰三角形,B),例題演示,即在,ABC,中，若,AB,=,AC,並已知下列其中一項條件成立，則其餘兩項條件也成立：,i.,BAD,= ,CAD,ii.,BD,=,DC,iii.,AD,BC,【,簡記：,等腰,性質,】,目錄,8.1,2B_Ch8(,17,),目錄,8.1,三角形的角和邊,等腰三角形,B),例題演示,4.,若一個三角形有兩個角相等，則與它們相對的兩條邊亦相等。,即在,ABC,中，若,ABC,= ,ACB,，,則,AB,=,AC,。,【,簡記：,等角對邊相等,】,目錄,8.1,2B_Ch8(,18,),目錄,8.1,三角形的角和邊,等腰三角形,B),求圖中的,x,。,x,= 40,等腰,底角,重點理解,8.1.2,2B_Ch8(,19,),目錄,8.1,三角形的角和邊,(a),在圖中，,OB,AC,。 求,y,。,(a),y,= 25,等腰,性質,(b),在圖,中，,QS,是,PQR,的角平分線。求,x,。,(b),x,= 4,等腰,性質,2B_Ch8(,20,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在圖中，,M,是,YZ,的中點。,求,a,和,b,。,a,= 90,等腰,性質,b,= 70,等腰,性質,2B_Ch8(,21,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在圖中，,PQ,=,PR,及,RPQ,= 28,。,M,和,N,分別是,PR,和,RQ,上的點，使,RMN,是一個等腰三角形，其中,MRN,是頂角。求,x,。,用右圖中的記號，,a,=,b,PQ,=,PR,等腰,底角,2B_Ch8(,22,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在,PQR,中，,a + b,+ 28,= 180,內角和,返回問題,a,+,a,+ 28,= 180,2,a,= 152,a,= 76,MRN,是等腰三角形,RMN,的頂角。,x,=,y,等腰,底角,在,RMN,中，,x + y,+,a,= 180,內角和,x,+,x,+ 76,= 180,2,x,= 104,x,= 52,2B_Ch8(,23,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,利用等腰三角的性質求未知量。,在,ABC,中，,AB,=,AC,。,M,和,N,分別是,BC,和,AC,上的點，使,MB,=,MC,=,MN,。,若,BA,/,MN,，,求,AMN,。,設,AMN,=,x,，,並使用右圖中的記號。,在等腰三角形,ABC,中，,AMB,= 90,AB,=,AC,及,BM,=,MC,，,等腰,性質,及,a,=,b,等腰,性質,但,a,=,x,內錯角，,BA,/,MN,a,=,b,=,x,2B_Ch8(,24,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在,AMN,中，,MNC,=,x,+,b,外角,返回問題,= 2,x,在等腰三角形,MNC,中，,y,= ,MNC,等腰底角,= 2,x,在 ,AMC,中，,b,+,y,= ,AMB,外角,x,+ 2,x,= 90,3,x,= 90,x,= 30,即 ,AMN,= 30,重點理解,8.1.3,2B_Ch8(,25,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,利用等腰三角及平行線的性質求未知量。,求圖中的,x,。,x,= 4,等角對邊相等,2B_Ch8(,26,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在,ABC,中，,BAC,= 36,，,X,是,AB,上的一點，使,CX,=,CB,。,如果,AB,=,AC,，,(a),求,m,；,(b),AXC,是否等腰三角形？,(a),用右圖中的記號。,在等腰三角形,ABC,中，,ACB,=,p,等腰底角,2B_Ch8(,27,),目錄,8.1,三角形的角和邊,(a),p,+,p,+ 36,= 180,返回問題,內角和,p,=,= 72,在等腰三角形,CXB,中，,m,=,p,等腰底角,= 72,2B_Ch8(,28,),目錄,8.1,三角形的角和邊,(b),在 ,AXC,中，,返回問題,外角,m,=,q,+ 36,72,=,q,+ 36,q,= 36, ,XAC,=,XCA =,36,XA,=,XC,等角對邊相等, ,AXC,是一個等腰三角形。,重點理解,8.1.4,2B_Ch8(,29,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,指出圖中的等腰三角形或等邊三角形。,例題演示,等邊,三角形,C),1.,一個三條邊都相等的三角形稱為,等邊三角形,。,2.,若,ABC,是一個等邊三角形，,則,A,=,B,=,C,= 60,。,【,簡記：等邊,性質,】,目錄,8.1,2B_Ch8(,30,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在圖中，,AB,=,BC,=,CA,。,求,x,和,y,。,BAC,= 60,等邊性質,M,是,BC,的中點。,x,=,y,等邊性質,即,x,= 60,= 30,y,= 30,2B_Ch8(,31,),目錄,8.1,三角形的角和邊,在圖中，,ABCD,是一個正方形而,BCE,是一個等邊三角形。求圖中的,x,。,在正方形,ABCD,，,ABC,= 90,。,在等邊三角形,BCE,中，,CBE,= 60,。,等邊性質, ,ABE,=,ABC,+,CBE,= 90,+ 60,= 150,2B_Ch8(,32,),目錄,8.1,三角形的角和邊,返回問題,重點理解,8.1.5,在正方形,ABCD,，,AB,=,BC,。,在等邊,三角形,BCE,，,BE,=,BC,。,即,AB,=,BE,ABE,是一個等腰三角形。,在等腰三角形,ABE,中，,BEA,=,x,等腰底角,x,+,x,+ 150,= 180,內角和,x,=,= 15,2B_Ch8(,33,),目錄,8.1,三角形的角和邊,習題目標,利用等邊三角形的性質求未知量。,簡介,8.2,多邊形的角,1.,凸多邊形,各內角都小於,180,。,2.,凹多邊形,至少有一個內角是反角。,反角,例題演示,目錄,8.2,2B_Ch8(,34,),目錄,以下哪些圖形是凸多邊形？,重點理解,8.2.1,A、D、E,A,B,C,D,E,2B_Ch8(,35,),目錄,8.2,多邊形的角,多邊形的內角和,一個凸,n,邊形的內角和是,(,n, 2),180,。,【,簡記：多邊形內角和,】,A),例題演示,目錄,8.2,2B_Ch8(,36,),目錄,8.2,多邊形的角,求十邊形的內角和。,多邊形的內角和,內角和,= 1 440,= (10 2),180,2B_Ch8(,37,),目錄,8.2,多邊形的角,求所示正五邊形中的,x,。,多邊形的內角和,內角和,= 540,= (5 2),180,x,正多邊形各內角相等。,=,內角和, 5,= 540, 5,= 108,2B_Ch8(,38,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,利用多邊形的內角和求未知量。,求多邊形的邊數或內角的大小。,在圖中，,ABCDEF,是一個六邊形，其中,AB,/,DC,，,求未知量,a,。,用右圖中的記號。,p,+,q,= 180,同旁內角，,AB,/,DC,2B_Ch8(,39,),目錄,8.2,多邊形的角,返回問題,六邊形的內角和,= (6 2),180,多邊形的內角和,= 720,p,+,q,+ 130,+,a,+ 120,+ 160,= 720,180,+,a,+ 410,= 720,a,+ 590,= 720,a,= 130,2B_Ch8(,40,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,利用多邊形的內角和求未知量。,求多邊形的邊數或內角的大小。,(a),一個正,n,邊形的內角和是,1 800,，求,n,的值。,(b),求這個多邊形每個內角的大小。,(a),n,邊形的內角和,= (,n, 2),180,多邊形的內角和,(,n, 2),180,= 1 800,n, 2= 10,n,= 12,(b),每個內角的大小,=,= 150,2B_Ch8(,41,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,求多邊形的邊數或內角的大小。,在圖中，,ABCD,是一個正多邊形的一部分。,該多邊形有多少條邊？,設該多邊形的邊數為,n,。,它的內角和,多邊形的內角和,= (,n, 2),180,2B_Ch8(,42,),目錄,8.2,多邊形的角,該正,n,邊形每個內角都是,160,，,所以它的內角和,返回問題,=,n,160,(,n, 2),180,=,n,160,(,n, 2),9=,n,8,9,n, 18= 8,n,9,n, 8,n,= 18,n,= 18,該多邊形有,18,條邊。,重點理解,8.2.2,2B_Ch8(,43,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,求多邊形的邊數或內角的大小。,多邊形的外角和,一個凸多邊形所有外角的和是,360,。,【,簡記：,多邊形外角和,】,B),例題演示,目錄,8.2,2B_Ch8(,44,),目錄,8.2,多邊形的角,求圖中的,x,。,多邊形外角和,x,+ 110,+ 170,= 360,x,+ 280,= 360,x,= 80,2B_Ch8(,45,),目錄,8.2,多邊形的角,圖中正五邊形每個外角都是,x,。,求,x,的值。,5,x,= 360,多邊形外角和,x,= 72,2B_Ch8(,46,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,利用多邊形的外角和求未知量。,求圖中的,x,。,如圖所示，延長,BC,至,H,，,得外角,y,。,y,+ 74,= 180,直線上的鄰角,y,= 106,x,+ 120,+ 106,+ 100,= 360,多邊形外角和,x,+ 326,= 360,x,= 34,2B_Ch8(,47,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,利用多邊形的外角和求未知量。,在圖中，,ABCDEFGH,是一個正八邊形。,若,AB,與,DC,延長後相交於一點,X,，,求,BXC,。,2B_Ch8(,48,),目錄,8.2,多邊形的角,設該正八邊形的一個外角為,。,由於正多邊形各外角相等，所以,返回問題,重點理解,8.2.3,XBC,=,XCB,=,即外角和,= 8,多邊形外角和,360,= 8,= 45,在 ,BXC,中，,BXC,+,+,= 180,內角和,BXC,+ 45,+ 45,= 180,BXC,= 90,2B_Ch8(,49,),目錄,8.2,多邊形的角,習題目標,涉及多邊形的綜合題。,可,密鋪平面的正多邊形,1.,密鋪,是指將一些圖形重複地緊密排列在一起來完全覆蓋一個平面，而且這些圖形既不重疊，也無空隙。,2.,等邊三角形、正方形和正六邊形的內角可整除周角,360,，而只有這三種正多邊形能密鋪平面。,C),例題演示,目錄,8.2,2B_Ch8(,50,),目錄,8.2,多邊形的角,以下哪個正多邊形能密鋪平面？,A.,正方形,正五邊形,正六邊形,D.,正八邊形,重點理解,8.2.4,A 和 C,2B_Ch8(,51,),目錄,8.2,多邊形的角,數學的欣賞：以最少工具作圖,古,希臘,人在幾何作圖方面力求簡單直接，甚至視以最少工具去作圖為智慧的鍛鍊。他們致力只用圓規和無刻度的直尺作圖。他們在探究幾何學時發展出一套嚴謹及系統化的方法，在幾何學上取得很大的進展。,A),目錄,8.3,2B_Ch8(,52,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,角,平分線的作圖法,B),例題演示,1.,參看右圖，,我們稱,OZ,為,AOB,的,角平分線,。,2.,我們可只利用圓規和直尺繪畫角平分線。,目錄,8.3,2B_Ch8(,53,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,試用圓規和直尺平分圖中所標明的角。,重點理解,8.3.2,1.,以,B,為圓心，取任何適當的長度為半徑，畫一個弧，使它與,AB,相交於,X,，,與,BC,相交於,Y,。,2.,以,X,和,Y,為圓心，取一個適當的長度為半徑，畫兩個弧，使這兩個弧相交於,Z,。,3.,連接,ZB,，,則,ZB,便是,ABC,的角平分線。,2B_Ch8(,54,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,垂直平分線的作圖法,C),例題演示,2.,我們可只利用圓規和直尺繪畫垂直平分線。,1.,參看右圖，,我們稱,PQ,為線段,AB,的,垂直平分線,。,目錄,8.3,2B_Ch8(,55,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,作,AB,的垂直平分線。,重點理解,8.3.3,1.,以,A,為圓心，用適當的半徑畫兩個弧，使它們分別位於線段,AB,的兩側。,2.,以,B,為圓心，用與步驟,1,相同的半徑畫兩個弧，使它們與剛才所畫的兩個弧相交於,P,和,Q,。,3.,連接,P,和,Q,的直線便是,AB,的垂直平分線。,2B_Ch8(,56,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,例題演示,特殊角的作圖法,D),1.,在幾何學上，,90,、,45,、,60,及,30,這四種特殊角，可以只用圓規和直尺繪畫，而不必用上量角器,。,平分,180,角可得,90,角；平分,90,角便可,得,45,角。,3.,我們可以藉著作一個等邊三角形的角來作,60,角。由此，平分,60,角便可,得,30,角。,目錄,8.3,2B_Ch8(,57,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,只用圓規和直尺，作一個,105,的角。,在圖中，,POQ,= 105,。,重點理解,8.3.4,2B_Ch8(,58,),目錄,習題目標,作,特殊角。,8.3,基本的幾何作圖,例題演示,正,多邊形作圖法,E),利用圓規和沒有刻度的直尺，可作很多種正多邊形，包括等邊三角形、正方形等。,目錄,8.3,2B_Ch8(,59,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,作一個正,五邊形。,1.,繪畫一圓及其直徑。,2.,作,AB,的垂直平分線。,3.,作,C,D,的垂直平分線，定出中點,M,。,2B_Ch8(,60,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,重點理解,8.3.5,4.,以,M,為圓心，,MC,為半徑畫一弧，與,AB,相交於,E,點。,CE,便是要作的正五邊形邊長。,返回問題,5.,以,CE,為半徑，由,B,點開始為圓心作弧，在圓周上順序作出,P,、,Q,、,R,及,S,點。連接,BP,、,PQ,、,QR,、,RS,及,SA,，,便得所需的正五邊形。,2B_Ch8(,61,),目錄,8.3,基本的幾何作圖,