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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、,齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则（,1,）可写成矩阵形式,:,则,(1),也可写成向量形式,:,那么齐次线性方程组在什么条件下有,非零解,？,当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？,是齐次线性方程组的解，称为零解,.,显然,由,(3),式可知,:,如果方程组,(2),只有零解,即等式,有非零解,R（A）n,齐次线性方程组,只有零解,R（A）=n,齐次线性方程组,线性无关,那么,R(A)=n,。,如果方程组,(2),有非零解,则向量组,线性相关,那么,R(A)n,定理,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：,（,1,）,若,都是齐次线性方程组,的解，那么,也是,的解，这是因为,二、,齐次线性方程组的解空间,的解,齐次线性方程组,（,2,）,若,则对任意实数,也是,的解。（原因是,若用,S,表示方程组,(1),的全体解向量所组成的集合,则上述两个性质即为：,这,说明集合,S,对向量的线性运算封闭，所以,S,构,成 的一个子空间，称其为齐次线性方程组,(1),的,解空间,。,是齐次线性方程组,的一组解向量，若它满足下列条件：,（,1,）,线性无关；,三、,齐次线性方程组的基础解系,定义,（,2,）方程组,的任一解向量都可由,线性表出,则称向量组,是齐次线性方程组,的一个,基础解系。,如果,是齐次线性方程组,的一个基础解系,那么，对任意常数,也是,的解，,称这种形式的解为,的,通解,，,解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，,进而求出通解。,注意,则齐次线性方程组,的基础解系含有,n-r,个向量。,得行最简形矩阵,对方程组,的系数矩阵,A,进行初等行变换，,证明,定理,以,B,为系数矩阵的方程组,称为方程组（*）的,自由变量，,由于,A,与,B,的行向量组等价，故,与（*）同解,任意给定,一组数值，代入到（*）,中都可以求出（*）的一个解，从而得,的一个解。,现在，令,分别取以下,n-r,组数值,代入（*）可求出,的,n-r,个解，设为,因为向量组（*）线性无关，按定理，加长的,向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方,程组,(1),的,n-r,个线性无关的解。,下面，我们再证明,的任一解,都可由,线性表出且,令,则 仍是,的解，并且,它应满足（*）的每一个方程，,代入（*）解得,=0,也就是,即,是齐次线性方程组,由定义，,的基础解系，即证明了当,R,（,A,）,=r n,时齐次,线性方程组,中有,n-r,个自由变量，,使基础解系由,n-r,个解向量组成。,说明,方程组的,基础解系,不是唯一的,方程组的,基础解系,又称为解空间的,基,若 是 的基础解系，,则其,通解,为,解,对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,例,求解齐次线性方程组,由 知方程组有非零解且与下面方程组同解,选 为自由变量，得,令,解得,令,解得,从而得到一个基础解系,方程组的通解为,为任意常数,其中,注意：,将（,1,）式写成：,则直接可以写出方程组的通解为：,为任意常数,其中,例,求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,得同解方程组,选,为自由变量，分别取,解得,故得方程组的一个基础解系为：,方程组的通解为,即,为任意常数,其中,同上例：将系数矩阵化成行最简矩阵,得同解方程组：,则可得方程的通解：,线性方程组的解法,（,1,）应用克莱姆法则,（,2,）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，,计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可,用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有,无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数,表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效,的计算方法,小 结,思考题,
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