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,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题七不等式,7.2,简单的线性规划,高考文数,考点一平面区域问题,考点,清单,考向基础,1.在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线,Ax,+,By,+,C,=0(,A,B,不同时为,0)分成三类:,(1)满足,Ax,+,By,+,C,=0的点;,(2)满足,Ax,+,By,+,C,0的点;,(3)满足,Ax,+,By,+,C,0(或,Ax,+,By,+,C,0)在平面直角坐标系中表示直线,Ax,+,By,+,C,=0某,一侧所有点组成的,平面区域,且不含边界,作图时边界应画成,虚线,;在坐标,系中画不等式,Ax,+,By,+,C,0(或,Ax,+,By,+,C,0)所表示的区域时,此区域的边,界应画成,实线,.,【知识拓展】,判断,Ax,+,By,+,C,0表示的平面区域在直线的哪一侧的方法:,(1)当,C,0时,取原点(0,0),当原点坐标使,Ax,+,By,+,C,0成立时,就是含原点的,区域;不成立时,就是不含原点的区域.,(2)当,C,=0时,取(0,1)或(1,0),当不等式成立时,就是含所取点的一侧;不成立,时,是另一侧.,考向一求平面区域的面积,考向突破,例1(2020届甘肃兰州重点中学10月联考,14)设,x,y,满足约束条件,则在平面直角坐标系中对应的可行域面积为,.,解析画出可行域,如图中阴影部分所示,则可行域的面积为,ABC,的面,积,易求得,A,B,C,(-1,1),则,S,ABC,=,=,.,答案,考向二根据二元一次不等式组表示的平面区域求参数范围,例2(2020届黑龙江齐齐哈尔10月调研,7)若不等式组,表示的区,域是一个三角形区域,则,a,的取值范围是,(),A.,a,B.0,a,1,C.1,a,D.0,a,1或,a,解析作出不等式组,所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.,作基本直线,l,0,:,x,+,y,=0,将其沿,y,轴向上平移,当过点,B,(1,0)时,原不等式组所表,示的可行域仍是一个含点,B,的三角形区域;继续向上平移,当直线过点,A,即,a,=,时,原不等式组所表示的平面区域再次变为一个三角形区域,结合图形,可知00时,直线过可行域且在,y,轴上的截距最大时,z,值最大;在,y,轴上的截距,最小时,z,值最小.当,B,0时,直线过可行域且在,y,轴上的截距最小时,z,值最大;,在,y,轴上的截距最大时,z,值最小.,2.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤,(1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交集.,(2)作出目标函数的等值线.,(3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问,题有唯一最优解,或者有无穷最优解,或者无最优解.,考向突破,考向一求线性目标函数的最值(取值范围),例3(2018课标全国,15,5分)若变量,x,y,满足约束条件,则,z,=,x,+,y,的最大值是,.,解析解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.,z,=,x,+,y,可化为,y,=-3,x,+3,z,.,求,z,的最大值可转化为求直线,y,=-3,x,+3,z,纵截距的最大值,显然当直线,y,=-3,x,+3,z,过,A,(2,3)时,纵截距最大,故,z,max,=2+,3=3.,解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标,分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知,z,max,=2+,3=3.,答案3,例4(2020届河南中原联盟第二次联考,8)若,x,y,满足约束条件,则,x,2,+,y,2,+2,y,的最大值为,(),A.4B.,-1C.16D.17,考向二求非线性目标函数的最值(取值范围),解析本题考查非线性规划问题.根据约束条件画出可行域,如图所示,令,z,=,x,2,+,y,2,+2,y,=,x,2,+(,y,+1),2,-1,其几何意义为可行域内的点到定点(0,-1)的距离的,平方再减去1,由图可知可行域中点,A,到(0,-1)的距离最大,由,解得,所以点,A,(1,3)到点(0,-1)的距离为,=,所以,z,max,=17-1=,16.,答案C,例5(2020届江西金太阳大联考,16)外地务工人员小明准备回家乡创业,他从当地银行贷款9万元作为创业基金,并在当地承包了一块300亩的耕地,承包费用为20万元(此笔费用可在获得收益后再支付),计划种植甲、乙两,个品种的蔬菜.当年种植甲、乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩,预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3 000元/亩,和2 000元/亩的收益,则合理分配资源后,当年能带来的最大利润是,万元.(利润=总收益-承包费用),考向三线性规划的实际问题,解析设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为,x,亩、,y,亩,利润为,z,万元,根据题意,可列出不等式组,目标函数,z,=0.3,x,+0.2,y,-20,将以,上不等式组化为,画出可行域,如图中阴影区域所示,由,解得,当目标函数图象经过点,M,(75,225)时,z,取得最大,值,z,max,=0.3,75+0.2,225-20=47.5.故当年能带来的最大利润是47.5万元.,答案47.5,方法1,目标函数的最值(取值范围)问题的求解方法,1.求目标函数的最值(取值范围)的步骤:,(1)画出可行域;(2)根据目标函数的,几何意义确定取得最优解的点;(3)求出目标函数的最大值或最小值(取值,范围),.,2.常见的目标函数:(1)截距型:形如,z,=,ax,+,by,(,ab,0),可以转化为,y,=-,x,+,利,用直线在,y,轴上的,截距大小,确定目标函数的最值(取值范围);(2)距离型:形,如,z,=(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,表示区域内的动点(,x,y,)与定点(,a,b,)连线的,距离的平方,;,(3)斜率型:形如,z,=,表示区域内的动点(,x,y,)与定点(,a,b,),连线的斜率,.,方法技巧,例1(2019天津,2,5分)设变量,x,y,满足约束条件,则目标函数,z,=,-4,x,+,y,的最大值为,(),A.2B.3C.5D.6,解析本题主要考查简单的线性规划问题.通过求线性目标函数的最大值,考查学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.,作出可行域(如图中阴影部分),平移直线-4,x,+,y,=0可知,目标函数,z,=-4,x,+,y,在,P,点处取最大值,由,得,P,(-1,1).,z,max,=-4,(-1)+1=5.故选C.,答案C,例2(2019安徽马鞍山一模,5)已知实数,x,、,y,满足,则,x,2,+,y,2,的最大值,与最小值之和为,(),A.5B.,C.6D.7,解析作出不等式组,表示的可行域如图,x,2,+,y,2,的几何意义是原点,O,到可行域内点的距离的平方,由图可知,O,到直线,x,+,y,-1=0的距离最小,为,.,可行域内的点,B,与坐标原点的距离最大,为,=,.,x,2,+,y,2,的最大值与最小值之和为5+,=,.,故选B.,答案B,方法2,线性规划的实际问题的求解方法,1.能建立线性规划模型的实际问题有:(1)给定一定量的人力、物力资源,使,完成的任务最多,收益最大;(2)给定一项任务,使完成这项任务耗费人力、,物力资源最少.,2.解决线性规划实际问题的一般步骤:(1)认真审题,设出未知数,写出线性,约束条件和目标函数;(2)画出可行域;(3)作出目标函数值为0时对应的直线,l,0,;(4)在可行域内平行移动直线,l,0,从图中判断问题有唯一最优解或有无穷,最优解或无最优解;(5)求出最优解,从而得到目标函数的最值;(6)得到实际,问题的解,写出结论.,例3(2017天津,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧,时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、,广告播放时长、收视人次如下表所示:,已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧,播放次数的2倍.分别用,x,y,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.,(1)用,x,y,列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;,(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最,多?,连续剧播放时长(分钟),广告播放时长(分钟),收视人次(万),甲,70,5,60,乙,60,5,25,解析(1)由已知得,x,y,满足的数学关系式为,即,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:,图1,(2)设总收视人次为,z,万,则目标函数为,z,=60,x,+25,y,.,考虑,z,=60,x,+25,y,将它变形为,y,=-,x,+,这是斜率为-,随,z,变化的一族平行,直线.,为直线在,y,轴上的截距,当,取得最大值时,z,的值最大.又因为,x,y,满,足约束条件,所以由图2可知,当直线,z,=60,x,+25,y,经过可行域上的点,M,时,截距,最大,即,z,最大.,图2,解方程组,得点,M,的坐标为(6,3).,所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最,多.,
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