高等数学 第1讲 对弧长的曲线积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十一、十二章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,二、对弧长的曲线积分的概念,三、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,一、问题的提出,四、几何与,物理意义,一、问题的提出,实例,:,曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对弧长的曲线积分的概念,1.,定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,2.,存在条件：,3.,推广,注意：,4.,性质,三、对弧长曲线积分的计算,定理,注意,:,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,特殊情形,推广形式,:,例1,解,（换元积分）,例,2.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1),之间的一段弧,.,解,:,上,点,O,(0,0),例,3,解,例,4.,计算,其中,为球面,解,:,化为参数方程,则,例,5.,计算,其中,L,为双纽线,解,:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用,对称性,得,例,6.,已知椭圆,周长为,a,求,提示,:,原式,=,利用,对称性,分析,:,练习：,BOOK P421,第,7,题,及,所围区域的边界,求,提示,:,分段积分,设,C,是由极坐标系下曲线,练习：,BOOK P421,第,3,题,例,7.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周,.,由,轮换对称性,可知,解,:,由于当积分变量,而且第一类曲线积分与弧的方向无关，,轮换位置时，曲线方程不变，,练习：,BOOK P421,第,9,题,四、几何与,物理意义,例,8.,设均匀螺旋形弹簧,L,的方程为,(1),求它关于,z,轴的转动惯量,(2),求它的质心,.,解,:,设其密度为,(,常数,).,(2),L,的质量,而,(1),故重心坐标为,例,9.,计算半径为,R,中心角为,的圆弧,L,对于它的对,称轴的转动惯量,I,(,设线密度,=,1).,解,:,建立坐标系如图,则,内容小结,1.,定义,2.,性质,(,l,曲线弧,的长度,),3.,计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,