解析函数的洛朗展式与孤立奇点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点,1,、,解析函数的洛朗展式,2,、,解析函数的孤立奇点,3,、,解析函数在无穷远点的性质,4,、,整函数与亚纯函数的概念,解析函数的洛朗展式,：,在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数,其中 是复常数。,此级数可以看成变量 的幂级数；,设这幂级数的收敛半径是,R,。,如果,解析函数的洛朗展式,：,那么不难看出，此级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛，,在 内发散。,同样，如果 ，那么此级数在,内绝对收敛并且内闭一致收敛；,如果,R=,0,，,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在 没有意义。于是根据定理,2.3,，按照不同情形，此级数分别在,内收敛于一个解析函数。,解析函数的洛朗展式,：,更一般地，考虑级数,这里 是复常数。当级数,都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。,设上式中第一个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛；,解析函数的洛朗展式,：,第二个级数在 内绝对收敛并且内闭一致收敛。,于是两级数的和函数分别在,又设 ，那么这两个级数都在圆环,内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数,解析函数的洛朗展式,：,在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数,为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环,D,内的解析函数，我们也有下面的洛朗定理：,定理,7.1,：,定理,7.1,设函数,f,(,z,),在圆环：,内解析，那么在,D,内,其中，,是圆 是一个满足,的任何数。,定理,7.1,的证明,：,证明：设,z,是圆环,D,内任一点，在,D,内作圆环，,使得 ，这里,用 分别表示圆,由于 在闭圆环 上解析，根据柯西定理，有,定理,7.1,的证明,：,其中积分分别是沿 关于它们所围成圆盘的正向取的。,当 时，级数,一致收敛；,定理,7.1,的证明,：,而当 时，级数,一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到,f,(,z,),有展式,定理,7.1,的证明,：,其中，,由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。,注解,：,注解,1,、由于函数,f,(,z,),的解析区域不是单连通区域，所以公式,不能写成：,注解,2,、我们称 为,f,(,z,),的解析部分，,而称 为其主要部分。,注解,3,、我们称 为,f,(,z,),的洛朗展式。,定理,7.2,：,定理,7.2,设洛朗级数 在圆环,中内闭一致收敛于和函数,g,(,z,),，,那么此展式就是,g,(,z,),在,D,内的洛朗展式：。,定理,7.2,的证明,：,证明：现在把系数用,g,(,z,),计算出来。在,D,内任取一圆，,用 乘以定理中展式的两边，,然后沿 求积分。由于所讨论的级数在 上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有,定理,7.2,的证明,：,这里因为上式中求和记号 后各项只有在,n=k,时不为零，因此定理的结论成立。,注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，,g,(,z,),在,D,内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：,系,4.1,在定理,7.1,的假设下，,f,(,z,),在,D,的洛朗展式式唯一的。,例1,：,例1,、求函数 分别在圆环,1|,z,|2,及,内的洛朗级数展式。,解：如果,1|,z,|2,，,那么,利用当 时的幂级数展式,我们得,例1,：,如果 ，那么,我们有,例2,例2,、,及 在,内的洛朗级数展式是：,例3,：,例3,、,在 内的洛朗级数展式是：,例,：,例、求函数 在圆环,1|,z,|3,内的洛朗级数展式。,解：由于,1|,z,|3,，,那么,利用当 时的幂级数展式,我们得,例,：,