第4章 随机信号的功率谱密度

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章,随机信号的功率谱密度,1,功率谱密度,信号可用能量特征来加以区别。,能量信号：,总能量为有限值而平均功率为零的信号；,功率信号：,平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。,例如：若,则,信号能量为：，,平均功率为：,若,则,总能量为：,能量信号,平均功率：,功率信号,确知信号的能量谱密度与功率谱密度,非周期信号的能量为：,其中,为一付氏变换对,;,Parseval,定理 。,故 为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系,由此可定义其功率谱密度函数为：,。,若 为一功率信号，则其功率谱密度函数为,问题：,对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平稳随机信号情况如何呢？,设 为功率型平稳随机信号。,由于随机信号的每一样本函数（或实现）都是一个确定的时间函数 ，因此，对于每个样本函数都可以求得对应的功率谱密度函数，即,，,称为,样本函数的功率谱密度函数,。,由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个,样本函数的,功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数才是合理的。,一个,随机过程的功率谱密度函数为,：,称为随机过程的功率谱密度函数,。由此可得随机过程的平均功率：,其中，,为均方值的时间平均。,当 为平稳过程时，则 常数，,故有,。,当 为各态历经过程时，则 故有,。,两者依概率,1,相等。,2,功率谱密度与自相关函数的关系,由 与,可证：,令：，则,令：,可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。,若 为平稳过程，则 ，故有,由付氏变换条件 可知，平稳随机过程 必须满足：,1.,不含直流分量；,2.,不含周期成分。,若含上述成分，则可引入 函数加以解决。,3,功率谱密度的性质,因为,各态历经平稳过程,1.,非负性，,G,X,(,)0,；,2.,G,X,(,),为实函数；,为实函数,3.,G,X,(,),为偶函数；,为偶函数,4.,G,X,(,),不含相位信息；,已不含相位信息,5.,G,X,(,),为有理函数；,6.,G,X,(,)=,2,G,X,(,),，其中,4,互谱密度及其性质,一、互谱密度,设 ，则,若 ，单独平稳且联合平稳，则 必然平稳，故有：,，,和,其中，,称为,X(t),和,Y(t),的互谱密度。,注意：,，单独平稳和联合平稳不能相互推论。,二、互谱密度的性质,1.,。,2.,和 是 的偶函数；,和 是 的奇函数。,因为任一复函数 满足：,3.,若平稳过程 和 相互正交，则有,和 。,平稳过程 和 相互正交的条件为：,4.,若,X(t),和,Y(t),是两个不相关的平稳过程，分别有均值,m,X,和,m,Y,，则,三、,相干函数定义,，。,当 时，。,5,白噪声与带限白噪声,一、白噪声定义：,一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为非零常数，即,的平稳过程 ，称为,白噪声过程,，简称,白噪声,。其中，为正实常数，单位：,白噪声的功率谱函数和自相关函数为：,白噪声的相关系数：,结论：,同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极快，功率谱极宽。,引入白噪声概念的重要意义：,白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实世界中随机噪声的一种理想化的近似；,白噪声平均功率,b),理论意义重大；,可求系统性能的下界，,数学运算简便。,若随机序列,Z,(n),满足：,则称,Z,(n),为白序列。其中 为单位冲击序列。,二、白序列定义,*,三、带限白噪声定义：,一个均值为零，功率谱密度为,的平稳过程，称为,带限白噪声。其中,0,为有限值。,对应于,带限白噪声的自相关函数,为：,其中，。,当 时，。,结论：,带限白噪声过程间隔时间 时的,随机变量是不相关的。,由结论可知：,若按抽样频率 对带限白噪声进行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。,带限白噪声可分为：,1,低通（带限）白噪声；,2,带通（带限）白噪声。,习题：,4.1,；,4.2,；,4.6,；,4.7,；,4.11,；,4.17,