3.2.3圆心角弦弦心距之间关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九年级数学,(,下,),第三章 圆,3.2,圆的对称性,圆的对称性,(3),圆心角、弧、弦、弦心距,之间的关系,一、复习引入：,1,、什么是轴对称、中心对称图形？,1,、圆心角，弦心距的概念,顶点在圆心的角叫圆心角,.,圆心到弦的距离叫弦心距,.,2,、,圆的旋转不变性：,圆是一个中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合。,D,二、新课学习：,练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，,并说明理由。,O,O,O,O,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,(1),定理：,在同圆中,，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。,思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：,条件：,结论：,在等圆或同圆中,圆心角相等,圆心角所对弧相等,圆心角所对弦相等,圆心角所对的弦心距相等,演示,猜想：,把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？,(2),推论：,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、,两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,顶点在圆心的圆心角等分成,360,份时，每一份的圆心角是,1,的角，整个圆周被等分成,360,份，我们把每一份这样的弧叫做,1,的弧,。,（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）,结论：,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,1,弧的概念：,三、巩固应用、变式练习,1,、判断题，下列说法正确吗？为什么？,（,2,）在,O,和,O,中，如果,AB=AB,那么,AB=AB.,（不对）,（不对）,（,1,）如图：因为,AOB=AOB,，,所以,AB=AB.,P,A,B,C,D,O,M,N,例,1,：,如图，点,O,是,EPF,平分线上的一点，以,O,为圆心的圆和角的两边分别交于点,A,、,B,和,C,、,D,求证：,AB=CD,证明：作,OMAB,，,ONCD,，,M,、,N,为垂足，,MPO=NPO,OMAB,ONCD,OMAB,OM,ON AB,CD,ONCD,A,B,C,D,O,M,N,变式,1,：,O,A,B,C,D,E,F,P,M,N,变式,2,：,已知：如图，,O,的弦,AB,，,CD,相交于点,P,，,APO=CPO,求证：,AB=CD,A,B,C,D,M,N,O,如图,M,、,N,为,AB,、,CD,的中点,且,AB=CD.,求证：,AMN,CNM,变式,3,：,例,2,、在,O,中，弦,AB,所对的,劣弧为圆的,1/3,，圆的半径为,2,厘米，求,AB,的长,A,B,O,C,例,3,、已知,AB,和,CD,为,O,的两条直径,弦,CEAB,EC,弧的度数等于,40,.,求,BOD,的度数。,2,、已知：如图，,O,中，,AB,、,CD,交于,E,，,AD=BC,。,求证：,AB=CD,。,四、课堂练习,1,、在,O,中，直径为,10,厘米，,AB,弧是圆的,1/4,，求弦,AB,的长。,3,、如图，,O,中弦,AB,，,CD,相交于,P,，,且,AB=CD.,求证：,PB=PD,P,A,B,C,D,O,思考题：,已知,AB,和,CD,是,O,的两条,弦，,OM,和,ON,分别是,AB,和,CD,的弦心距，如果,AB,CD,，,那么,OM,和,ON,有什么关系？为什么？,圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系,1,、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；,2,、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角,也较大。,二、弦、弦心距之间的不等量关系,已知,O,中，弦,AB,CD,，,OMAB,，,ONCD,，,垂足分别为,M,，,N,，,求证：,OM,CD,，,那么,OM,ON,。,1,、一条弦把圆分成,3,：,6,两部分，则优弧所对,的圆心角为,.,2,、,A,、,B,、,C,为,O,上三点，若 、,的度数之比为,1,：,2,：,3,，,则,AOB=,，,BOC=,COA=,.,3,、,在,O,中，,AB,弧的度数为,60,，,AB,弧的长,是圆周长的,。,4,、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆,心角是,度。,三、基础练习：,240,60,120,180,1/6,60,AmB,BC,AB,CD,6,、如图，弦,AB,所对的劣弧,为圆的,则,AOB=,.,ACB=,5,、弦长为,24cm,这条弦的弦心距为,cm,，,这条 弦所对的圆心角是,度，圆的半径是,。,120,120,60,例,1,、,已知：如图，在,ABC,中,C=90,，,A=34,以点,C,为圆心,CB,为半径的圆交,AB,于,D,点，求,BD,弧的度数,.,问题：求,BD,弧的度数，可转化,为求什么？需添辅助线吗？,如何添？,四、例题分析,分析：（,1,）要证,AP=BP,有什么路径？,（,2,）“,CP,是,DCO,的平分线”“,CDAB”,条件如何用？,（,3,）有无“隐含条件”？,（,4,）需添辅助线吗？,例,2,、,如图，已知：,AB,为,O,的弦，,从圆上一点,C,引弦,CDAB,作,OCD,的,平分线交,O,于,P,点，连结,PA,PB.,求证：,PA=PB.,例,3,、,（,99,年北京中考题）,在,O,中，,CD,过圆心,O,，且,CDAB,于,D,，,过点,C,任作一弦,CF,交,O,于,F,，交,AB,于,E,，,求证：,CB,=CECF,O,A,B,C,D,E,F,五、思考题：,1,、如图，,AB,是,O,的,直径，过,AB,上任一点,K,作与,AB,相交成,45,的弦,PQ,，,设,O,的半径为,R,，,求证：,PK,2,+QK,2,为定值。,A,B,O,P,K,Q,D,2,、如图,A,与,B,是两个等圆,直线,CFAB,分别交,A,于点,C,、,D,，,交,B,于点,E,、,F,。,求证：,CAD=EBF,A,B,C,D,E,F,G,H,五、思考题：,小结：,1,、圆具有,“,旋转不变性,”,。,即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合,2,、圆心角、弦心距、,1,的弧的定义。,3,、四个量之间的等量关系。（,知一推三,）,证明弧相等方法的扩充：,（,1,）等弧的定义,（,2,）垂径定理及推论,（,3,）四个量之间的等量关系及推论。,4,、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。,（,相等,）,5,、常添的辅助线：,作出半径、弦心距,1,、了解圆的对称性和它的旋转不变性,.,2,、理解圆心角、弦心距的概念,.,3,、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等,关系定理及推论,.,4,、理解,1,弧的概念。,圆心角、,弧、弦、弦心距之间的关系,教学目标：,教学重点：,圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系,.,教学难点：,从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、,弧、弦、弦心距之间的相等关系。,教学课时：,共,二,课时。,A,B,M,O,A,B,O,M,O,A,B,M,2.,在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。,圆心角、,弧、弦、弦心距之间的关系（二）,1.,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,一、重要定理复习,根据这一定理，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关系的相互转化，由知一个转为知三个，给解题带来了转机。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,如果,AOB=COD,如果,OE=OF,AC=BD,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,.,题设,结论,（,1,）直径,（,2,）垂直于弦,（,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧,（,5,）平分弦所对的劣弧,M,O,A,C,B,N,直线,MN,过,圆心,MNAB,AC=BC,垂径定理,AM,=,MB,AN,=,NB,M,O,A,C,B,N,直线,MN,过,圆心,AC=BC,MNAB,AM,=,MB,AN,=,NB,垂径定理,推论,1,推论,1.(1),平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,M,O,A,C,B,N,MNAB,AC=BC,垂径定理,推论,1,直线,MN,过圆心,O,AM,=,MB,AN,=,NB,推论,1:,(2),弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,;,M,O,A,C,B,N,垂径定理,推论,1,MNAB,AC=BC,AM,=,MB,直线,MN,过圆心,O,AN,=,NB,推论,1:,(3),平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,O,A,B,C,D,O,A,B,C,D,M,M,垂径定理,推论,2,O,A,B,C,D,E,F,例,2,：,已知：如图，,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,OE,、,OF,为,AB,、,CD,的弦心距,如果,AOB,COD,那么,OE,与,OF,的大小有什么关系？为什么？,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,O,A,B,C,E,F,D,例,2,：,已知：如图，,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,OE,、,OF,为,AB,、,CD,的弦心距,如果,OE,OF,，,那么,AB,与,CD,的大小有什么关系？,AB,与,CD,的大小有什么关系？为什么？,AOB,与,COD,呢？,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,2,、抢答题,已知：如图，,AB,，,CD,是,O,的两条弦，,OE,、,OF,为,AB,、,CD,的弦心距，根据这,节课所学的定理及推论填空：,A,B,C,F,D,E,O,(2),如果,OE=OF,，,那么,，,，,；,(3),如果,AB=CD,，,那么,，,，,；,(4),如果,AB=CD,，,那么,，,，,。,(1),如果,AOB=COD,，,那么,，,，,;,OE=OF AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,AOB=COD OE=OF AB=CD,