静电场边值问题的唯一性定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,静电场边值问题的唯一性定理,典型的静电问题,给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在,一定边界条件,下求解,静电场的边值问题,泛定方程,唯一性定理,边界条件,可将空间里电场的分布,唯一,地确定下来,即给定边界条件后，,不可能,存在不同的静电场分布,该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要,理论证明在电动力学中给出，,p59,给出物理上的论证,几个引理,引理一,在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值,证明（反证）若有极大，则,极大,极小,若有极小，同样证明,引理二,若所有导体的电势为,0,，则导体以外空间的电势处处为,0,即,意味着空间电势有极大值，违背引理一,证明（反证）,在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于,0,（或小于,0,）的点，而边界上电势又处处等于零必出现极大值或极小值,推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为,U,0,）,，,则空间电势等于常量,U,0,引理三,若,所有导体都不带电，则各导体的电势都相等,证明（反证）,若不相等，必有一个最高，如图设,U,1,U,2,、U,3,，,导体1是电场线的起点其表面只有正电荷导体1上的总电量不为0与前提矛盾,引理二()引理三推论：所有导体,都不带电,的情况下空间各处的,电势,也和导体一样，等于同一,常量,叠加原理,在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：,1：给定每个导体的电势,U,k,（,或总电量,Q,k,）,2：,给定每个导体的电势,U,k,（,或总电量,Q,k,),设,U,、,U,满足上述两条件，则它们的线性组合,U,=,a,U,+,b U,必满足条件3:,3:给定每个导体的电势,U,k,=,a,U,k,+,b U,k,（,或总电量,Q,k,=,Q,k,a,k,+,b Q,k,）,特例：,取,U,k,U,k,，,则,U,=,U,U,(a=1,b=-1),满足,4：给定每个导体的电势为0,唯一性定理,给定每个导体电势的情形,与,电势参考点有关,给定每个导体上总电量的情形,第,k,个导体上的电量,电量与场强、电势的关系,解释静电屏蔽,唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是,唯一,可能的分布。,图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布,电像法,解静电问题的一种特殊方法,在一,接地的无穷大平面导体前有一点电荷,q,求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布,基本思想：,利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解,像电荷,真空中有一半径为,R,的,接地导体球，距球心为,a,(,aR,),处有一点电荷,Q,求空间各点电势,寻找像电荷,对称性分析，确定像电荷位置,使球面上电势0,任取,P,点，利用叠加原理求出像电荷位置,对所有,都成立，即要求,求,p,点电势,讨论：,由,Gaoss,定理收敛于球面上的电通量为,Q,，,Q,=,球面上的总感应电荷，它受电荷,Q,产生的电场,吸引从接地处传至导体球上，|,Q|Q,Q,发出的电力线只有一部分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷,电偶极层,设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 电偶极层，如图，求,P,点的电势和场强,面元,dS,在垂直于矢径,r,方向的投影,定义电偶极层强度：单位面积上的电偶极矩,P,点的电场强度,电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关,几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变,负电荷一侧：,曲面,S,对场点,P,所张的立体角,正电荷一侧,：,电偶极层两侧的电势跃变,具体考察图中两点,当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差：,电偶极层两侧的电势跃变：,