资源描述
*,*,*,2.3.1,向量数量积的物理背景与定义,第二章,2.3,平面向量的数量积,1,学习目标,1.,了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力,F,的作用下产生位移,s,所做的功,.,2.,掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义,.,3.,会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直,.,2,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3,问题导学,4,知识点一向量的夹角,思考,1,平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？,答案,答案,存在夹角，不一样,.,5,思考,2,ABC,为正三角形，设,a,，,b,，则向量,a,与,b,的夹角是多少？,答案,ABC,为等边三角形，,ABC,60,，,则,CBD,120,，,故向量,a,与,b,的夹角为,120.,6,两个向量夹角的定义,(1),已知两个非零向量,a,，,b,，作,a,，,b,，,则,称作向量,a,和向量,b,的夹角，记作,，并规定它的范围是,.,在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有,a,，,b,.,(2),当,时，我们说向量,a,和向量,b,互相垂直，记作,.,梳理,AOB,a,，,b,0,a,，,b,b,，,a,a,b,7,知识点二向量在轴上的正射影,思考,向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？,答案,答案,向量,b,在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角,的范围：当,为锐角时，该数量为正值；,当,为钝角时，该数量为负值；当,为直角时，该数量为,0,；,当,0,时，该数量为,|,b,|,；当,180,时，该数量为,|,b,|.,8,向量在轴上的正射影,已知向量,a,和轴,l,(,如图,).,作,a,，过点,O,，,A,分别作轴,l,的垂线，垂足分别为,O,1,，,A,1,，则向量,叫做向量,a,在轴,l,上的正射影,(,简称射影,),，该射影在轴,l,上的坐标，称作,a,在,上的数量或在,上的数量,.,a,在轴,l,上正射影的坐标记作,a,l,，向量,a,的方向与轴,l,的正向所成的角为,，则由三角函数中的余弦定义有,a,l,|,a,|cos,.,梳理,轴,l,轴,l,的方向,9,知识点三向量的数量积,(,内积,),思考,1,如图，一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,，且力,F,与位移,s,的夹角为,，那么力,F,所做的功,W,是多少？,答案,答案,W,|,F|s,|cos,.,10,思考,2,对于两个非零向量,a,与,b,，我们把数量,|,a|b,|cos,叫做,a,与,b,的数量积,(,或内积,),，记作,ab,，即,ab,|,a|b,|cos,，那么,ab,的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？,答案,答案,ab,的运算结果是数量,.,0,a,0.,11,向量数量积的定义,叫做向量,a,和,b,的数量积,(,或内积,),，记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,.,梳理,|,a,|,b,|cos,a,，,b,12,知识点四向量数量积的性质,思考,1,设,a,与,b,都是非零向量，若,a,b,，则,ab,等于多少？反之成立吗？,答案,答案,a,b,ab,0.,思考,2,当,a,与,b,同向时，,ab,等于什么？当,a,与,b,反向时，,ab,等于什么？特别地，,aa,等于什么？,答案,当,a,与,b,同向时，,ab,|,a|b,|,；,当,a,与,b,反向时，,ab,|,a,|,b,|,；,13,思考,3,|,ab,|,与,|,a|b,|,的大小关系如何？为什么？对于向量,a,，,b,，如何求它们的夹角,？,答案,答案,|,ab,|,|,a|b,|,，设,a,与,b,的夹角为,，,则,ab,|,a|b,|cos,.,两边取绝对值得,|,ab,|,|,a|b,|cos,|,|,a|b,|.,当且仅当,|cos,|,1,，,即,cos,1,，,0,或,时，取,“,”.,所以,|,ab,|,|,a|b|,.,14,两个向量内积有如下重要性质,(1),如果,e,是单位向量，则,a,e,e,a,(,a,0,).,(2),a,b,a,b,，且,a,b,a,b,(,a,0,，,b,0,).,(3),a,a,或,|,a,|,.,(4)cos,a,，,b,(|,a,|,b,|,0).,(5)|,a,b,|,|,a,|,b,|.,梳理,|,a,|cos,a,，,e,0,0,|,a,|,2,15,题型探究,16,类型一求两向量的数量积,例,1,已知,|,a,|,4,，,|,b,|,5,，当,(1),a,b,；,(2),a,b,；,(3),a,与,b,的夹角为,30,时，分别求,a,与,b,的数量积,.,解,(1),当,a,b,时，若,a,与,b,同向，则,0,，,a,b,|,a,|,b,|cos 0,4,5,20,；,若,a,与,b,反向，则,180,，,a,b,|,a,|,b,|cos 180,4,5,(,1),20.,(2),当,a,b,时，,90,，,a,b,|,a,|,b,|cos 90,0.,(3),当,a,与,b,的夹角为,30,时，,a,b,|,a,|,b,|cos 30,解答,17,反思与感悟,求平面向量数量积的步骤：,(1),求,a,与,b,的夹角,，,0,，,180,；,(2),分别求,|,a|,和,|b|,；,(3),求数量积，即,ab,|,a|b|,cos,，要特别注意书写时,a,与,b,之间用实心圆点,“,”,连接，而不能用,“”,连接，也不能省去,.,18,答案,解析,解析,如图所示，由题意，,得,BC,a,，,CD,a,，,BCD,120.,19,例,2,已知,|,a,|,|,b,|,5,，向量,a,与,b,的夹角为,，求,|,a,b,|,，,|,a,b,|.,类型二求向量的模,解答,20,引申探究,若本例中条件不变，求,|2,a,b,|,，,|,a,2,b,|.,解答,21,反思与感悟,此类求解向量模的问题就是要灵活应用,a,2,|,a,|,2,，即,|,a,|,，勿忘记开方,.,22,跟踪训练,2,已知,|,a,|,|,b,|,5,，且,|3,a,2,b,|,5,，求,|3,a,b,|,的值,.,解,|3,a,2,b,|,2,9|,a,|,2,12,a,b,4|,b,|,2,9,25,12,a,b,4,25,325,12,a,b,，,|3,a,2,b,|,5,，,325,12,a,b,25,，,a,b,25.,|3,a,b,|,2,(3,a,b,),2,9,a,2,6,a,b,b,2,9,25,6,25,25,400,，,故,|3,a,b,|,20.,解答,23,例,3,设,n,和,m,是两个单位向量，其夹角是,60,，求向量,a,2,m,n,与,b,2,n,3,m,的夹角,.,类型三求向量的夹角,解答,24,解,|,n,|,|,m,|,1,且,m,与,n,的夹角是,60,，,ab,(2,m,n,)(2,n,3,m,),mn,6,m,2,2,n,2,25,设,a,与,b,的夹角为,，,26,反思与感悟,当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是,0,，,.,27,跟踪训练,3,已知,ab,9,，,a,在,b,方向上的正射影的数量为,3,，,b,在,a,方向上的正射影的数量为,，求,a,与,b,的夹角,.,解答,又,0,180,，,120.,28,当堂训练,29,1.,已知,|,a,|,8,，,|,b,|,4,，,a,，,b,120,，则向量,b,在,a,方向上的正射影的数量为,A.4 B.,4,C.2 D.,2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,向量,b,在,a,方向上的正射影的数量为,|,b,|cos,a,，,b,4,cos 120,2.,30,答案,2,3,4,5,1,解析,A.1 B.2,C.3 D.5,解析,|,a,b,|,2,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,10,，,|,a,b,|,2,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,6,，,由,得,4,a,b,4,，,a,b,1.,31,2,3,4,5,1,答案,解析,3.,若,a,b,，,c,与,a,及与,b,的夹角均为,60,，,|,a,|,1,，,|,b,|,2,，,|,c,|,3,，,则,(,a,2,b,c,),2,_.,解析,(,a,2,b,c,),2,a,2,4,b,2,c,2,4,a,b,2,a,c,4,b,c,1,2,4,2,2,3,2,4,0,2,1,3,cos 60,4,2,3,cos 60,11.,11,32,答案,解析,25,2,3,4,5,1,33,5.,已知正三角形,ABC,的边长为,1,，求：,解答,2,3,4,5,1,34,解答,2,3,4,5,1,35,规律与方法,1.,两向量,a,与,b,的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正,(,当,a,0,，,b,0,，,0,90,时,),，也可以为负,(,当,a,0,，,b,0,，,90,180,时,),，还可以为,0(,当,a,0,或,b,0,或,90,时,).,2.,两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆,.,3.,在,ab,|,a|b,|cos,中，,|,b,|cos,和,|,a,|cos,分别叫做,b,在,a,方向上的正射影的数量和,a,在,b,方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分,.,36,4.,求射影有两种方法,(1),b,在,a,方向上的正射影的数量为,|,b,|cos,(,为,a,，,b,的夹角,),，,a,在,b,方向上的正射影的数量为,|,a,|cos,.,37,本课结束,38,
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