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13.2 命 题 与 证 明第 4课 时 三 角 形 的 外 角 情境引入学习目标1.理 解 并 掌 握 三 角 形 的 外 角 的 概 念 2.能 够 在 能 够 复 杂 图 形 中 找 出 外 角 .（ 难 点 ）3.掌 握 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 及 三 角 形 的 内 角 和 （ 重 点 ）4.会 利 用 三 角 形 的 外 角 性 质 解 决 问 题 . 导入新课复习引入1.在 ABC中 ， A=80 , B=52 ,则 C= .3.什 么 是 三 角 形 的 内 角 ？ 其 内 角 和 等 于 多 少 ？ 48 三 角 形 相 邻 两 边 组 成 的 角 叫 作 三 角 形 的 内 角 ，它 们 的 和 是 180 .2.如 图 ， 在 ABC中 ， A=70 , B=60 , 则 ACB= ， ACD= .AB C D50 130 B D C AO 40 70 ？ 问 题 ： 发 现 懒 洋 洋 独 自 在 O处 游 玩 后 ， 灰 太 狼 打 算 用 迂回 的 方 式 ， 先 从 A前 进 到 C处 ， 然 后 再 折 回 到 B处 截 住 懒洋 洋 返 回 羊 村 的 去 路 ， 红 太 狼 则 直 接 在 A处 拦 截 懒 洋 洋 ，已 知 BAC=40 ， ABC=70 .灰 太 狼 从 C处 要 转 多少 度 角 才 能 直 达 B处 ？ 利 用 “ 三 角 形 的 内 角 和 为 180 ” 来 求 BCD， 你 会 吗 ？思 考 ： 像 BCD这 样 的 角 有 什 么 特 征 吗 ？ 猜 想 它 的 性 质 .这 节 课 让 我 们 一 起 来 探 讨 吧 .B D C AO 40 70 ？ 由 三 角 形 内 角 和 易 得 BCA=180 A CBA=70 ，所 以 BCD=180 BCA=110 . 讲授新课三角形的外角的概念一u定 义如 图 ， 把 ABC的 一 边 BC延 长 ， 得 到 ACD， 像 这样 ， 三 角 形 的 一 边 与 另 一 边 的 延 长 线 组 成 的 角 ， 叫做 三 角 形 的 外 角 . ACD是 ABC的 一 个 外 角CB A D 问 题 1 如 图 ， 延 长 AC到 E, BCE是 不 是 ABC的 一 个外 角 ？ DCE是 不 是 ABC的 一 个 外 角 ？E在 三 角 形 每 个 顶 点 处 都 有 两 个 外 角 . ACD 与 BCE为 对 顶 角 ， ACD = BCE；CB A D BCE是 ABC的 一个 外 角 ， DCE不 是 ABC的 一 个 外 角 .问 题 2 如 图 ， ACD与 BCE有 什 么 关 系 ？ 在 三 角 形 的每 个 顶 点 处 有 多 少 个 外 角 ？ AB C画 一 画 画 出 ABC的 所 有 外 角 ， 共 有 几 个 呢 ? 每 一 个 三 角 形 都有 6个 外 角 每 一 个 顶 点 相 对应 的 外 角 都 有 2个 ，且 这 2个 角 为 对 顶 角 . 三 角 形 的 外 角 应 具 备 的 条 件 ： 角 的 顶 点 是 三 角 形 的 顶 点 ； 角 的 一 边 是 三 角 形 的 一 边 ； 另 一 边 是 三 角 形 中 一 边 的 延 长 线 . ACD是 ABC的 一 个 外 角CB A D 每 一 个 三 角 形 都 有 6个 外 角 总结归纳 FAB CDE如 图 , BEC是 哪 个 三 角 形 的 外 角 ？ AEC是 哪 个 三角 形 的 外 角 ？ EFD是 哪 个 三 角 形 的 外 角 ？ BEC是 AEC的 外 角 ; AEC是 BEC的 外 角 ; EFD是 BEF和 DCF的 外 角 .练一练 三 角 形 的 外 角A C B D相 邻 的 内 角不 相 邻 的 内 角三角形的外角的性质二问 题 1 如 图 ， ABC的 外 角 BCD与 其 相 邻 的 内 角 ACB有 什 么 关 系 ？ BCD与 ACB互 补 . 问 题 2 如 图 ， ABC的 外 角 BCD与 其 不 相 邻 的 两内 角 ( A， B)有 什 么 关 系 ？ 三 角 形 的 外 角A C B D相 邻 的 内 角不 相 邻 的 内 角 A+ B+ ACB=180 ， BCD+ ACB=180 ， A+ B= BCD. 你 能 用 作 平 行 线 的 方法 证 明 此 结 论 吗 ？ D 证 明 ： 过 C作 CE平 行 于 AB，AB C 12 1= B，（ 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 ） 2= A ， （ 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 ） ACD= 1+ 2= A+ B.E已 知 ： 如 图 ， ABC， 求 证 ： ACD= A+ B.验证结论 如 图 ， 试 比 较 2 、 1的 大 小 ；如 图 ， 试 比 较 3 、 2、 1的 大 小 .图 图 解 ： 2= 1+ B, 2 1. 解 ： 2= 1+ B, 3= 2+ D, 3 2 1.拓展探究 推 论 3： 三 角 形 的 外 角 等 于 与 它 不 相邻 的 两 个 内 角 的 和 . 推 论 4： 三 角 形 的 外 角 大 于 与 它 不 相邻 任 何 一 个 内 角 . AB CD B+ C= CAD CAD B， CAD C归纳总结u三 角 形 内 角 和 定 理 的 推 论 练 一 练 ： 说 出 下 列 图 形 中 1和 2的 度 数 ：AB C D( ( (80 60 ( 21(1) AB C( ( (2150 32 (2) 1=40 , 2=140 1=18 , 2=130 例 1 如 图 , A=42 , ABD=28 , ACE=18 ,求 BFC 的 度 数 . BEC是 AEC的 一 个 外 角 ， BEC= A+ ACE， A=42 ， ACE=18 ， BEC=60 . BFC是 BEF的 一 个 外 角 ， BFC= ABD+ BEF， ABD=28 ， BEC=60 ， BFC=88 .解 ：FA CDEB 典例精析 例 2 如 图 ， P为 ABC内 一 点 ， BPC 150 ， ABP 20 ， ACP 30 ， 求 A的 度 数 解 析 ： 延 长 BP交 AC于 E或 连 接 AP并 延 长 ， 构 造 三 角形 的 外 角 ， 再 利 用 外 角 的 性 质 即 可 求 出 A的 度 数 E 解 ： 延 长 BP交 AC于 点 E，则 BPC， PEC分 别 为 PCE， ABE的 外 角 ， BPC PEC PCE， PEC ABE A， PEC BPC PCE 150 30 120 . A PEC ABE 120 20 100 . 【 变 式 题 】 (一 题 多 解 )如 图 ， A=51 ， B=20 ， C=30 ， 求 BDC的 度 数 .AB CD( (51 20 30 思 路 点 拨 ： 添 加 适 当 的 辅 助 线 将 四 边 形 问 题 转 化 为三 角 形 问 题 . AB CD( (20 30 解 法 一 ： 连 接 AD并 延 长 于 点 E.在 ABD中 ， 1+ ABD= 3，在 ACD中 ， 2+ ACD= 4.因 为 BDC= 3+ 4， BAC= 1+ 2，所 以 BDC= BAC+ ABD+ ACD =51 +20 +30 =101 . E )1 2)3 )4你 发 现 了 什么 结 论 ？ AB CD( (51 20 30 E )1解 法 二 ： 延 长 BD交 AC于 点 E.在 ABE中 ， 1= ABE+ BAE，在 ECD中 ， BDC= 1+ ECD.所 以 BDC= BAC+ ABD+ ACD =51 +20 +30 =101 .解 法 三 :连 接 延 长 CD交 AB于 点 F（ 解 题 过 程 同 解 法 二 ） .)2F 解 题 的 关 键 是 正 确 的 构 造 三 角 形 ， 利 用 三 角 形 外 角 的 性质 及 转 化 的 思 想 ， 把 未 知 角 与 已 知 角 联 系 起 来 求 解 .总结 三角形的外角和三例 3 如 图 ， BAE, CBF, ACD是 ABC的 三 个 外 角 ， 它 们的 和 是 多 少 ？解 ： 由 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不相 邻 的 两 个 内 角 的 和 ， 得 BAE= 2+ 3， CBF= 1+ 3, ACD= 1+ 2.又 知 1+ 2+ 3=180 ，所 以 BAE+ CBF+ ACD=2( 1+ 2+ 3)=360 . AB CEF D( ( (2 1 3你 还 有 其 他解 法 吗 ？ 解 法 二 ： 如 图 ， BAE+ 1=180 ， CBF + 2=180 ， ACD + 3=180 ，又 知 1+ 2+ 3=180 ， + + 得 BAE+ CBF+ ACD+( 1+ 2+ 3)=540 ，所 以 BAE+ CBF+ ACD=540 -180 =360 .AB CEF D( ( (2 13 解 法 三 ： 过 A作 AM平 行 于 BC， 3 4B C1 2 34A 2 BAM，所 以 1 2 3 1 4 BAM=360M 2 3 4 BAM，结 论 ： 三 角 形 的 外 角 和 等 于 360 .思 考 你 能 总 结 出 三 角 形 的 外 角 和 的 数 量 关 系 吗 ？DEF 当堂练习 1.判 断 下 列 命 题 的 对 错 .（ 1） 三 角 形 的 外 角 和 是 指 三 角 形 的 所 有 外 角 的 和 . （ ）（ 2） 三 角 形 的 外 角 和 等 于 它 的 内 角 和 的 2倍 . （ ）（ 3） 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 两 个 内 角 的 和 . （ ）（ 4） 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 .（ ）（ 5） 三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 任 何 一 个 内 角 . （ ）（ 6） 三 角 形 的 一 个 内 角 小 于 任 何 一 个 与 它 不 相 邻 的 外 角 .（ ） 2.如 图 ， AB/CD， A 37 , C 63 ， 那 么 F 等 于 （ ）FA BEC DA.26B.63C.37D.60 A 3.（ 1） 如 图 ， BDC是 _ 的 外 角 ,也 是 的 外 角 ； (2)若 B=45 ， BAE=36 , BCE=20 ,试 求 AEC的 度 数 . AB CD E ADE ADC解 ： 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 有 ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE.所 以 AEC= B+ BCE+ BAE=45 +20 +36 =101 . 解 ： 因 为 ADC是 ABD的 外 角 .4 .如 图 ， D是 ABC的 BC边 上 一 点 , B= BAD, ADC=80 ， BAC=70 ， 求 ：（ 1） B 的 度 数 ； （ 2） C的 度 数 .在 ABC中 ， B+ BAC+ C=180 ， C=180-40-70=70 .所 以 ADC= B+ BAD=80 .又 因 为 B= BAD， AB180 40 ,2B 所 以 CD ABC D E12 FG 解 ： 1是 FBE的 外 角 , 1= B+ E,同 理 2= A+ D.在 CFG中 , C+ 1+ 2=180, A+ B+ C+ D+ E= 180.5.如 图 ， 求 A+ B+ C+ D+ E的 度 数 .能 力 提 升 ： 12 3B AC P NMD E F6.如 图 ， 试 求 出 A B C D E F=_.360 课堂小结三 角 形的 外 角 定 义 角 一 边 必 须 是 三 角 形 的 一 边 ， 另 一 边 必须 是 三 角 形 另 一 边 的 延 长 线性 质 推 论 1： 三 角 形 的 外 角 等 于 与 它 不 相 邻的 两 个 内 角 的 和三 角 形 的外 角 和 三 角 形 的 外 角 和 等 于 360 推 论 2： 三 角 形 的 外 角 大 于 与 它 不 相 邻的 任 何 一 个 内 角 见 学 练 优 本 课 时 练 习课后作业
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