一、初等因子的定义

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,8.5,初等因子,*,一、,初等因子的定义,二,、,初等因子与不变因子的关系,8.5,初等因子,三、,初等因子的求法,8.5,初等因子,一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）,把矩阵 的每个次数大于零的不变因子,称为,A,的初等因子,.,分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、,初等因子的定义,8.5,初等因子,9,个,则,A,的初等因子有,7,个，它们是,例,1,、,若,12,级复矩阵,A,的不变因子是,:,8.5,初等因子,设,n,级矩阵,A,的不变因子为已知：,将 分解成互不相同的一次因式,二、,初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积,:,分析,:,8.5,初等因子,则其中对应于 的那些方幂,:,就是,A,的全部初等因子,.,注意到不变因子 满足,从而有,因此有,8.5,初等因子,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必,出现在 的分解式中,.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是,唯一确定的,.,8.5,初等因子,设级矩阵的全部初等因子为已知,.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数不足,n,个时，则在后面补上适当个数,的,1,，使其凑成,n,个，设所得排列为,8.5,初等因子,于是令,则,就是,A,的不变因子,.,8.5,初等因子,例,1,、已知,3,级矩阵,A,的初等因子为：,求,A,的不变因子,.,解：作排列,得,A,的不变因子为：,8.5,初等因子,结论,1,、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有,结论,2,、两个同级数字矩阵相似,可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量,.,相同的不变因子,.,它们有相同的初等因子,.,8.5,初等因子,1,、,(,引理,1,),若多项式 都与,互素，则,三、,初等因子的求法,证：令,显然，,8.5,初等因子,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,8.5,初等因子,同理可得,即,故,8.5,初等因子,如果多项式 都与 互素，,2,、,(,引理,2,),设,则 与 等价,.,8.5,初等因子,证：首先，,从而 二阶行列式因子相同,.,其次，由引理,1,，有,从而 的一阶行列式因子相同,.,所以，与 等价,.,8.5,初等因子,3,、,(,定理,9,),设 将特征矩阵 进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是,A,的全部初等因子,.,8.5,初等因子,证：设 经过初等变换化成对角形,其中 皆为首,1,多项式，,将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积,:,8.5,初等因子,下证，对于每个相同的一次因式的方幂,在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵 与 等价,.,此时 就是 的,且所有不为,1,的 就是,A,的全部,初等因子,.,标准形，,8.5,初等因子,为了方便起见，先对 的方幂进行讨论,.,于是,且每一个 都与 互素,.,如果相邻的一对指数,则在 中将 与 对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理,2,8.5,初等因子,与,等价,.,8.5,初等因子,等价,.,然后对 重复上述讨论,.,从而 与对角矩阵,8.5,初等因子,如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止,.,再依次对作同样处理,.,最后便得到与 等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为 的标准形,.,8.5,初等因子,例,2,、求矩阵,A,的初等因子,解：对 作初等变换,8.5,初等因子,A,的初等因子为,:,8.5,初等因子,