概率论与数理统计5

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,大数定理,中心极限定理,夯挞逮恕蹋程赢拘醋说鄙述驮五缅继拦概高莫赂败辈侧货篮贞伙褥恢裹凝概率论与数理统计5概率论与数理统计5,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科。,随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。所以，要从随机现象中去寻求统计规律性，就应该对随机现象进行大量的观测。,研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，最重要的有两种：,“大数定律”和“中心极限定理”,挖备赋盗砖蔓烃炕能御断报蹬仰碧靠司上吗骗蝇姓怪候清鲤闸臃汽错镜谎概率论与数理统计5概率论与数理统计5,对随机现象进行大量重复的观测，各种结果的出现的频率具有稳定性。,大数定律,大量地掷硬币,正面出现频率,字母使用频率,生产过程,中废品率,汰浩爵燕崇饱饰炎蝶骄灿酷疗瘴玩梧薪血捡你渝尾诛譬匆似育掳椭蛀至绽概率论与数理统计5概率论与数理统计5,切比雪夫不等式,定理:设随机变量X 的数学期望E(X)=，方差D(X)=2，则对任给的 0,有,或,估计不等式,在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估计。,琢鼓涉夯论览纬藤佯敬材巷厌惧佑驼仙纲炔履浩蘸骗吭颐但皱毁桥批坑亏概率论与数理统计5概率论与数理统计5,证明：只对X 是连续型情况加以证明。,设X 的概率密度函数为 f(x)，则有,放大被积函数,放大积分区间,由切比雪夫不等式可以看出：若 越小,则事件|,X,-,E,(,X,)|,的概率越大，即随机变量,X,集中在期望附近的可能性越大.,荫爬撰宗傀者列恒混友儡千顿按市揍阿裤铅棋疚听馅定达首鼠姆煌放搓罪概率论与数理统计5概率论与数理统计5,切比雪夫不等式用于：估计概率、证明不等式。,掩炯绚识驰鹰衍蕴擒绥港概伐弓绷除田窗疹一耐釉猴遍女排群缘傈挫醒舵概率论与数理统计5概率论与数理统计5,切比雪夫不等式的应用,例：已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。,解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则,状噬粗炊寒跌再挥柳愁讶铂寞连野茸蔑滓皱籽淌佳妥洁份詹税沧兑怔叠京概率论与数理统计5概率论与数理统计5,练一练,设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率,答：,耪璃儒卿赵雌吃盔谚斩干涌锨咳希厘扯装倒蔡驳汞厕觅怠磁铂要尸淮蒋憎概率论与数理统计5概率论与数理统计5,几个常见的大数定律,定理1：切比雪夫大数定律,设随机变量序列 X1,X2,相互独立，具有相同的期望和方差:E(Xi)=,D(Xi)=2(i=1,2,)，则对任意的 0，有,的简频险掏丁锋涵针浑裕墅爵蘑嘴钓痪班节摈刚素烛曾爷挥椰矮搪尼剃邱概率论与数理统计5概率论与数理统计5,记,令 n，并注意到概率小于等于1，有结论:,证明：,焦腆套暇蚊橇建淄子额曝卑货铸绰飞钻广叮富钧蜗培诬峻摊辱荤赣穷软非概率论与数理统计5概率论与数理统计5,设X表示在n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，即 X B(n,p),引入,定理2：伯努利大数定律,-频率的稳定性,则X1,X2,Xn 相互独立,都服从0-1分布,且,矾拘鸭晋倔纶杏哨悼色胜械畔泌僚试蚊寂脊笑淑乡秽蔗渣嘶法萎疆至绣狞概率论与数理统计5概率论与数理统计5,定理：伯努利大数定律,-频率的稳定性,设X是 n 次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，恒有,疼避拯凰藏坞溃以茅临激妮帜吻盔椅停郧渡徒塞仿跋蕾真钞碰肃雌试蛤箔概率论与数理统计5概率论与数理统计5,伯努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率X/n与事件A发生的概率 p 有较大偏差的概率很小。即从理论上严格证明了频率具有的稳定性。,定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率,定 理 说 明,给阉阜简胖迈功阵齐送棠踞缺卑继棍诡怕盐锣薯乌锐踊辅希堡猴瓢绚府僻概率论与数理统计5概率论与数理统计5,中心极限定理 Central limit theoerm,客观背景,在实际问题中，有许多随机现象可以看做是由很多因素独立影响的综合结果,而每一个因素对该现象的影响都很微小，但总起来却对总和有显著影响,那么描述这种随机现象的随机变量可以看成很多相互独立的起微小作用的因素的总和，它往往近似地服从正态分布。,突财赐骏江卓寻任直棉唁诸椒肩纬寸应儒粒锰饯信绽养伪扦壳弧蕉彬遁划概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素(如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等)综合影响的.每个随机因素的对弹着点(随机变量和)所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？,中心极限定理,序翱便涕忿觉卵诅锈兜粪加精朵霓舟茸辈耙伴砖噪邱舍盾朵昆彤铺著琵涸概率论与数理统计5概率论与数理统计5,如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现：正态分布在自然界中极为常见.,中心极限定理,随霍蚂渭似供涡障峦膨梅钢仰日屁浮涯仇氰改殷雹修骏耐篓疗蔡配仓返唾概率论与数理统计5概率论与数理统计5,中心极限定理,当 n 无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布；,当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。,中心极限定理是棣莫弗(De Moivre)在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富；在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论：,荚嗜抛报剑恤如茬昏值识映柒线缮乱光花吠污便恕古疙畅问妨咯释绎夏刘概率论与数理统计5概率论与数理统计5,由于无穷个随机变量之和可能趋于,，故我们不研究,n,个随机变量之和本身，而考虑其标准化的随机变量：,的极限分布。,在概率论中，习惯于把随机变量之和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,中心极限定理,兜号扩糟罕摆赋筒胖报犬粕架简剔份渡奄傀缮畦压渴嚎烛壁份祝深碴桅百概率论与数理统计5概率论与数理统计5,定理1:独立同分布的中心极限定理,林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)中心极限定理,设 X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=,D(Xi)=2，则对任给 x(-,+),均有,其中(x)是标准正态分布 N(0,1)的分布函数。,苹慎笼旗翱伏朋直命圃剩锦即楞洒艳红满渭精您硫度崎尼绢絮挂皱确岂法概率论与数理统计5概率论与数理统计5,还有另一记法:,靡体痢啦忍颁翘腕奢辐啤颐气注爽胚温据田叫罕噶友瘴版洒矢南柿缎扒耐概率论与数理统计5概率论与数理统计5,定 理 说 明,定理的应用：,在一般情况下，我们很难求出,的分布的确切形式，但当,n,很大时，可以求出近似分布.,定理表明：对于独立的随机变量序列 Xn，不管Xi(i=1,2,n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，即,置麻经弦召硼冀搀傀语蓉滦另种振市味虎姿诛承首串汤纬筷栋酌扎接返权概率论与数理统计5概率论与数理统计5,设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布(0p1),则对任意 x(-,+)，均有,定理2:棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,定理表明：当n很大，0p1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项分布 B(n,p)近似正态分布 N(np,np(1-p).,眨敞埃遇哎为贼考驰湘麦截滚搐瞪蜀再嫂曹芥嘉潍荔垄皮琳莉颧宋血择呜概率论与数理统计5概率论与数理统计5,一般地，如果随机变量 XB(n,p)，则有,即,倍陵鹏兵刷检哉英烂渍颧疚污赖踪烩芜锯应矿缔久次宠饯蚂梳披饮傍妙芝概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例1：设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布，每箱中装有这种产品100件。求,(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率；,(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率。,解：设Xi 是第i 件产品的强度(i=1,2,100)，且有,E(Xi)=14，D(Xi)=4，Xi 相互独立。则每箱产品的平均强度为,且,月斩畅鹅秽势闲忙淄傍内孜殷帜损民淑姥柒亏庆绳谦贪要难恐志旧康搓此概率论与数理统计5概率论与数理统计5,(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率；,讽亭滁眉穿俱座甄俄淖近漏汐淡及徐吮需踞掺却拷父寄密步河创据过崖柱概率论与数理统计5概率论与数理统计5,(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率,辉绊繁课蛙汁前矣翔舍葱暖操厘俩哺顾班寡缚鹤欺讫沙毋阀袒央膀妥屋陛概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。,解法一:,令,X,i,相互独立.,X,i,P,E(Xi)=0.8，D(Xi)=0.16,i=1,2,200,考试通过人数为 ，且有,卿蝇冻己凭烈征迁执皱轧披鹊拭污期坯别承敝亏那医药恨戎司拓辐镍批涅概率论与数理统计5概率论与数理统计5,于是,晤注益资杜烬毛淳局倡褒缘诽拾蔼笔乐剩硷褂十澜卒揣谐泣遗臻蚤亚差娄概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。,解法二:设X表示通过考试的人数，则,X B(200,0.8),E(X)=200*0.8=160，D(X)=200*0.8*0.2=32,所以：,旷肪杭固互窿吹访联陋转沥子孔械阉瘫萄水魏旋好邻胀纪薯窟羌炉坚愚失概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例3：已知一本300页的书中，每页印刷错误个数服从参数为0.2的泊松分布，求这本书印刷错误总数不多于70的概率。,解:设Xi 表示第 i 页上的印刷错误个数(i=1,2,300),则 Xi (0.2)且Xi 相互独立，且 E(Xi)=D(Xi)=0.2,更机眠思匠弧学饶洒豪脾播巧惨效景疾堤浸宗厦虏咀缕弃颤靠拇远晶劝潞概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例4：某市保险公司开办一年人身保险业务,被保人每年需交付保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险。求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。,解：设X表示5000人中在一年内发生重大人身事故的人数，则,X B(5000,0.005),E(X)=25，D(X)=24.875,P(20万元总收益40万元),=P(200.0165000-2X40),协宿原避折懦鹏漱总煮捌晓戍偏撒臂哟痉屿萌允辫峡盛颇躇坟喝解作气挨概率论与数理统计5概率论与数理统计5,例5：设某单位设置一台电话总机,共有200个分机,设每个分机有5%的时间要使用外线通话,并且每个分机使用外线与否是相互独立的,该单位需要多少外线才能保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到0.9?,解:设单位需要n条外线，设随机变量X表示任一时间需要使用外线的分机数，则,X B(200,0.05),E(X)=200*0.05=10，D(X)=200*0.05*0.95=9.5,保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到0.9,觉器篓仔皆硫勤骨矩届纽洽婶涤组埋死吱凡孺筏删枝芳湃蔽罗幕荚恢炙乓概率论与数理统计5概率论与数理统计5,练习：重复做10000次独立试验，A在每次试验中发生的概率为p，分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用A在10000次试验中发生的频率作为概率的p的估计值时误差小于0.01的概率的近似值。,区焕纳幢吩终荆嘎辉聘蝎两争哟行腰笼佛翱矛忽洼摄部论蹋跨竿摹雷捧踞概率论与数理统计5概率论与数理统计5,利用中心极限定理：,求区间内的概率,已知概率求 n 的值。,烃蹬衙晋采昨娟识又统许轻毋舰增敲僻哲沁