教育专题：切线长定理

,切线长定理,1,、理解切线长定理，懂得定理的产生过程；,2,、会灵活运用切线长定理探究一些结论，并应,用定理解题。,如何过,O,外一点,P,画出,O,的切线？,如下左图，借助三角板，我们可以画出,PA,是,O,的切线,.,O,P,A,B,O,过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,.,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线和切线长是两个不同的概念：,1.,切线是一条与圆相切的直线，不能度量；,2.,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量,.,O,P,A,B,比一比：,切线与切线长,O,A,B,P,1,2,思考：,已知,O,切线,PA,，,PB,，,A,，,B,为切点，把圆沿着直线,OP,对折,你能发现什么,?,折一折,请证明你所发现的结论,.,A,P,O,B,PA=PB,OPA=OPB,证明：,PA,，,PB,与,O,相切，点,A,，,B,是切点，,OAPA,，,OBPB.,即,OAP=OBP=90,，,OA=OB,，,OP=,OP,，,RtAOPRtBOP(HL,),PA=PB,，,OPA=OPB.,证一证,切线长定理,PA,，,PB,分别切,O,于,A,，,B,，,PA=PB,OP,平分,APB.,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角,.,几何语言,:,O,P,A,B,探究：,PA,，,PB,是,O,的两条切线，,A,，,B,为切点，直线,OP,交,O,于点,D,，,E,，交,AB,于点,C.,B,A,P,O,C,E,（,1,）写出图中所有的垂直关系,OAPA,，,OB PB ABOP,（,2,）写出图中与,OAC,相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,D,AOPBOP,，,AOCBOC,，,ACPBCP,（,4,）写出图中所有的等腰三角形,ABP,，,AOB,（,3,）写出图中所有的全等三角形,B,A,P,O,C,E,D,已知：如图,PA,PB,是,O,的切线，切点分别是,A,B,，,Q,为,O,上一点，过,Q,点作,O,的切线，交,PA,PB,于,E,F,点，已知,PA=12cm,，求,PEF,的周长,.,【,解析,】,易证,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.,周长为,24cm.,F,ABC,的内切圆,(,与三角形的三边都相切的圆,）,O,与,BC,，,CA,，,AB,分别相切于点,D,，,E,，,F,，且,AB=9cm,，,BC=14cm,，,CA=13cm,，求,AF,，,BD,，,CE,的长,.,【,解析,】,设,AF=x,则,AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,，,BD=BF=AB-AF=9-x.,由,BD+CD=BC,可得,13-x+9-x=14,，,解得,x=4.,AF=4 cm,BD=5 cm,CE=9 cm.,如图，四边形,ABCD,的边,AB,，,BC,，,CD,，,DA,和,O,分别相切于点,L,，,M,，,N,，,P,，,求证：,AD+BC=AB+CD.,证明：,由切线长定理得,AL=AP,，,LB=MB,，,NC=MC,，,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即,AD+BC=AB+CD,，,结论：圆的外切四边形的两组对边,的和相等,D,L,M,N,A,B,C,O,P,（,1,）切线和圆只有一个公共点,.,（,2,）切线和圆心的距离等于圆的半径,.,（,3,）切线垂直于过切点的半径,.,（,4,）经过圆心垂直于切线的直线必过切点,.,（,5,）经过切点垂直于切线的直线必过圆心,.,（,6,）切线长定理,.,切线的六个性质：,【,例,1】,如图，四边形,ABCD,的边,AB,，,BC,，,CD,，,DA,和,O,分别相切于点,L,，,M,，,N,，,P,，,求证：,AD+BC=AB+CD.,证明：,由切线长定理得,AL=AP,，,LB=MB,，,NC=MC,，,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即,AD+BC=AB+CD,，,补充：圆的外切四边形的两组对边,的和相等,D,L,M,N,A,B,C,O,P,【,例题,】,作业：为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为,30,的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得,PA,=5cm,，则锅盖的半径长是多少？,P,A,B,O,