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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第四节函数,y=Asin(x+),的图象及,应用,1,总纲目录,教材研读,1.,用“五点法”画,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0),在一个周期 内的简图,2.,由函数,y,=sin,x,的图象通过变换得到,y,=,A,sin(,x,+,),(,A,0,0,0),的图象的步骤,3.,函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0,x,0,+,),的物理意义,2,考点突破,考点二,由图象求函数,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,的解析式,考点一五点法作图及图象变换,考点三三角函数图象与性质的综合问题,考点四三角函数模型的简单应用,3,1.用“五点法”画,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0)在一个周期内的简图,用五点法画,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后描点,连线,其中所列表如下:,教材研读,4,2.由函数,y,=sin,x,的图象通过变换得到,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0,0)的图象的步骤,5,3.函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0,x,0,+,)的物理意义,(1)振幅为,A,.,(2)周期,T,=,.,(3)频率,f,=,=,.,(4)相位是,x,+,.,(5)初相是,.,注:本节关于函数,y,=,A,sin(,x,+,)的一些方法与结论可类比推理到,y,=,A,cos,(,x,+,)及,y,=,A,tan(,x,+,).,6,1.,y,=2sin,的振幅、频率和初相分别为,(),A.2,-,B.2,-,C.2,-,D.2,-,A,答案,A由振幅、频率和初相的定义可知,函数,y,=2sin,的振幅,为2,频率为,初相为-,.,7,2.为了得到函数,y,=sin,的图象,只需把函数,y,=sin,x,的图象上所有的,点,(),A.向左平行移动,个单位长度,B.向右平行移动,个单位长度,C.向上平行移动,个单位长度,D.向下平行移动,个单位长度,A,答案,A根据“左加右减”的原则可知,把函数,y,=sin,x,的图象上所有,的点向左平行移动,个单位长度可得,y,=sin,的图象.故选A.,8,3.(2016课标全国,6,5分)将函数,y,=2sin,的图象向右平移,个周,期后,所得图象对应的函数为,(),A.,y,=2sin,B.,y,=2sin,C.,y,=2sin,D.,y,=2sin,D,答案,D该函数的周期为,将其图象向右平移,个单位后,得到的图,象对应的函数为,y,=2sin,=2sin,故选D.,9,4.为了得到函数,y,=3sin,的图象,只需将,y,=3sin,的图象上的,所有点,(),A.向左平移,个单位长度,B.向右平移,个单位长度,C.向左平移,个单位长度,D.向右平移,个单位长度,D,答案,D,y,=3sin,=3sin,.,10,5.用五点法作函数,y,=sin,在一个周期内的图象时,主要确定的五个,点是,、,、,、,、,.,答案,;,;,;,;,解析,分别令,x,-,=0,2,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为,0,1,0,-1,0).,11,6.已知函数,f,(,x,)=sin(,x,+,)(,0)的图象如图所示,则,=,.,12,答案,解析,由题图可知,=,-,=,即,T,=,所以,=,故,=,.,13,典例1,已知函数,f,(,x,)=,sin,x,+,cos,x,(,0)的最小正周期为.,(1)求,的值,并在下面提供的坐标系中画出函数,y,=,f,(,x,)在区间0,上的,图象;,(2)函数,y,=,f,(,x,)的图象可由函数,y,=sin,x,的图象经过怎样的变换得到?,考点一五点法作图及图象变换,考点突破,14,解析,(1)由题意知,f,(,x,)=sin,因为,T,=,所以,=,即,=2,故,f,(,x,)=sin,.,列表如下:,15,y,=,f,(,x,)在0,上的图象如图所示.,(2)将,y,=sin,x,的图象上的所有点向左平移,个单位长度,得到函数,y,=sin,的图象,再将,y,=sin,的图象上所有点的横坐标缩短到原来,的,(纵坐标不变),得到函数,f,(,x,)=sin,(,x,R)的图象.,16,方法技巧,1.五点法作图,用“五点法”作,y,=,A,sin(,x,+,)的简图,主要是通过变量代换,令,z,=,x,+,由,z,取0,2来求出相应的,x,通过列表得出五点坐标,描点,连线后,得出图象.,17,2.图象变换,由函数,y,=sin,x,的图象通过变换得到,y,=,A,sin(,x,+,)的图象有两种途径:,“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,提醒(1)由,y,=sin,x,到,y,=sin(,x,+,)的变换:向左平移,(,0,0)个单位,长度而非,个单位长度.,(2)平移前后两个函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名,函数,为负时应先变成正值.,18,1-1,(2017课标全国,9,5分)已知曲线,C,1,:,y,=cos,x,C,2,:,y,=sin,则,下面结论正确的是,(),A.把,C,1,上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线,向右平移,个单位长度,得到曲线,C,2,B.把,C,1,上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线,向左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,C.把,C,1,上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向,右平移,个单位长度,得到曲线,C,2,D.把,C,1,上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向,左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,D,19,答案,D,y,=sin,=cos,=cos,=cos,由,y,=cos,x,的图象得到,y,=cos 2,x,的图象,需将曲线,C,1,上各点的横坐标缩短,到原来的,纵坐标不变;由,y,=cos 2,x,的图象得到,y,=cos,的图象,需将,y,=cos 2,x,的图象上的各点向左平移,个单位长度,故选D.,20,1-2,(2017安徽两校阶段性测试)将函数,y,=cos,图象上各点的横,坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移,个单位长度,所得函,数图象的一条对称轴为,(),A.,x,=,B.,x,=,C.,x,=,D.,x,=,A,21,答案,A将函数,y,=cos,图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,(纵坐标不变)时,得到函数,y,=cos,的图象;再将此函数的图象向左,平移,个单位长度后,得到函数,y,=cos,=cos,的图象.,该函数图象的对称轴为,-,=,k,(,k,Z),即,x,=2,k,+,(,k,Z).结合选项,只,有A符合,故选A.,22,典例2,(1)函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),其中,A,0,0,|,|,的部分图象如,图所示,则,f,的值为,(),A.-,B.-,C.-,D.-1,考点二由图象求函数,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,的解析式,23,(2)(2018四川质量检测)已知函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,)+,B,(,A,0,x,R,0,|,|,)的部分图象如图所示,则函数,f,(,x,)的解析式为,f,(,x,)=,.,24,答案,(1)D(2)2sin,+1,解析,(1)由图象可得,A,=,最小正周期,T,=4,=,则,=,=2.,又,f,=,sin,=-,得,+,=,+2,k,k,Z,即,=,+2,k,k,Z,因为|,|,所以,=,则,f,(,x,)=,sin,f,=,sin,=,sin,=-1,选项D正确.,(2)由题图可知,函数的最大值为,A,+,B,=3,最小值为-,A,+,B,=-1,解得,A,=2,B,=1.,25,函数的最小正周期,T,=2,=,由,=,解得,=2.,由,f,=2sin,+1=-1,得sin,=-1,故,-,=2,k,-,(,k,Z),解得,=2,k,-,(,k,Z),又因为|,|0,0)的步骤和方法,(1)求,A,b,确定函数的最大值,M,和最小值,m,则,A,=,b,=,.,(2)求,确定函数的最小正周期,T,则可得,=,.,(3)求,常用的方法:,代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,b,已知)或代入图象与直,线,y,=,b,的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).,特殊点法:确定,值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:,“最大值点”(即图象的“峰点”)时,x,+,=,+2,k,(,k,Z);“最小值,点”(即图象的“谷点”)时,x,+,=,+2,k,(,k,Z).,27,2-1,已知函数,f,(,x,)=,A,cos(,x,+,),的图象如图所示,f,=-,则,f,=,(),A.-,B.-,C.,D.,A,28,答案,A由题图知,=,-,=,T,=,即,=3,当,x,=,时,y,=0,即3,+,=2,k,-,k,Z,=2,k,-,k,Z,令,k,=1,则,=-,f,(,x,)=,A,cos,.,由题图可知,函数图象过点,29,即,A,cos,=-,得,A,=,f,(,x,)=,cos,故,f,=,cos,=-,.,30,2-2,(2017甘肃张掖模拟)函数,f,(,x,)=sin(,x,+,),的部分图象,如图所示,若,x,1,x,2,且,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,),则,f,(,x,1,+,x,2,)=,(),A.,B.,C.,D.1,C,31,答案,C由题图知,=,则,=2,f,(,x,)=sin(2,x,+,),点,在函数,f,(,x,),的图象上,sin,=0,即,+,=,k,k,Z,又|,|0)图象上最高点的纵坐,标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为.,(1)求,a,和,的值;,(2)求函数,f,(,x,)在0,上的单调递减区间.,考点三三角函数图象与性质的综合问题,33,解析,(1),f,(,x,)=4cos,x,sin,+,a,=4cos,x,+,a,=2,sin,x,cos,x,+2cos,2,x,-1+1+,a,=,sin 2,x,+cos 2,x,+1+,a,=2sin,+1+,a,.,当sin,=1时,f,(,x,)取得最大值2+1+,a,=3+,a,又,f,(,x,)图象上最高点的纵坐标为2,3+,a,=2,a,=-1.,又,f,(,x,)图象上相邻两个最高点的距离为,f,(,x,)的最小正周期,T,=,2,=,=2,=1.,(2)由(1)得,f,(,x,)=2sin,34,由,+2,k,2,x,+,+2,k,k,Z,得,+,k,x,+,k,k,Z.,令,k,=0,得,x,函数,f,(,x,)在0,上的单调递减区间为,.,35,规律总结,函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)的常用性质,(1)奇偶性:当,=,k,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为奇函数;当,=,k,+,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为偶函数.,(2)周期性:函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)具有周期性,其最小正周期为,T,=,.,(3)单调性:根据,y,=sin,x,的单调性来研究,由-,+2,k,x,+,+2,k,k,Z,得单调增区间;由,+2,k,x,+,+2,k,k,Z得单调减区间.,(4)对称性:利用,y,=sin,x,的对称性来研究,由,x,+,=,k,(,k,Z)求得对称中心,的横坐标;由,x,+,=,k,+,(,k,Z)得对称轴方程.,36,3-1,已知函数,f,(,x,)=,sin(,x,+,),的图象关于直线,x,=,对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.,(1)求,和,的值;,(2)当,x,时,求函数,y,=,f,(,x,)的最大值和最小值.,37,解析,(1)因为,f,(,x,)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以,f,(,x,)的最小,正周期,T,=,从而,=,=2.,又因为,f,(,x,)的图象关于直线,x,=,对称,所以2,+,=,k,+,k,Z,故,=,k,-,k,Z,由-,得,k,=0,=-,.,综上,=2,=-,.,(2)由(1)知,f,(,x,)=,sin,当,x,时,-,2,x,-,当2,x,-,=,即,x,=,时,f,(,x,),最大,=,;,当2,x,-,=-,即,x,=0时,f,(,x,),最小,=-,.,38,典例4,(1)某实验室一天的温度(单位:)随时间,t,(单位:h)的变化近似,满足函数关系:,f,(,t,)=10-,cos,t,-sin,t,t,0,24),则实验室这一天的最,大温差为,.,(2)已知关于,x,的方程2sin,2,x,-,sin 2,x,+,m,-1=0在,上有两个不同的实,数根,则,m,的取值范围是,.,考点四三角函数模型的简单应用,39,答案,(1)4(2)(-2,-1),解析,(1),f,(,t,)=10-2,cos,t,+,sin,t,=10-2sin,因为0,t,2,4,所以,t,+,0,0,0,).,(1)求出这段曲线的函数解析式;,(2)若某行业在当地需要的温度在区间20-5,20+5,上为最佳营业,时间,那么该行业在614时,最佳营业时间有多少小时?,46,解析,(1)由题图知,A,=,(30-10)=10,b,=,(30+10)=20,=14-6,=,y,=10sin,+20.,将,t,=6,y,=10,代入得,=,解析式为,y,=10sin,+20,t,6,14.,47,(2)由题意得,20-5,10sin,+20,20+5,即-,sin,2,k,-,t,+,2,k,+,k,Z.,即16,k,-8,t,16,k,-4,t,6,14,k,=1,即8,t,12,最佳营业时间有12-8=4小时.,48,深化练,如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点,O,离,地面0.5 m.风车圆周上一点,A,从最低点,O,开始,运动,t,(s)后与地面的距离,为,h,(m),则函数,h,=,f,(,t,)的关系式为,.,49,答案,f,(,t,)=-2cos,+2.5,解析,如图,以,O,为原点,过点,O,的圆,O,1,的切线为,x,轴,建立平面直角坐标,系,设点,A,的坐标为(,x,y,),则,h,=,y,+0.5.,设,OO,1,A,=,则cos,=,y,=-2cos,+2.,又,=,t,=,所以,y,=-2cos,+2,h,=,f,(,t,)=-2cos,+2.5.,50,
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