资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,首 页,上 页,下 页,退 出,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节,一、角动量,angular momentum,O,角动量与力矩,Angular momentum and,一,均匀,圆盘绕过质心的轴转动,，怎样描述其上某一质点的运动？,问题：,质点作圆周运动,可用角位置，角速度描述,X,A,B,A,、,B,两点岂不是无差异？,用什么来描述转动问题呢？,第一节,一、角动量,angular momentum,角动量与力矩,Angular momentum and,例如天文上行星围绕太阳转。,单位时间内扫过的面积,称为角动量,正比于,大量的事实表明转动问题与,有关。,任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的力矩之和为零：,o,i,j,质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。,定义：,例如天文上行星围绕太阳转，单位时间内扫过的面积是一个与 有关的问题。这个量称为,角动量,。,一、何谓角动量？,角动量的提出，是与转动相联系的。,2.5,角动量、角动量守恒,(,Angular Momentum.Law of Conservation of Angular Momentum),o,m,注意：,1),为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量,L,画在参考点上。,质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。,定义：,o,m,注意：,1),为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量,L,画在参考点上。,3,）角动量是矢量，,其大小,2,）单位：,方向由：,决定。,方向如图,例如：质点作圆周运动,o,二、力矩,中学时学过的力矩概念,注意,：,2,）方向：,3,）单位：米牛顿,定义：力对某点,O,的力矩等于力的作用点的矢 径 与力,F,的矢量积,.,o,m,1,）大小,注意,：,4,）,力的方向沿矢径的方向（）,向心力的力矩为零,三、角动量定理,1,、角动量定理的微分形式,对一个质点：,（,1,）式对,t,求导：,此称质点的,角动量定理,X,Y,Z,O,对多个质点而言,：,（以两个质点为例）,如图设有质点,m,1,。,m,2,分别受,外力,外力矩,内力,内力矩,对质点（,1,）：,对质点（,2,）：,两式,相加：,m,1,m,2,d,内力矩,X,Z,Y,O,令：,质点所受的合外力矩,质点系的总角动量,则：,推广到,n,个质点的,质点系：,质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等于系统所受合外力矩。,m,1,m,2,d,X,Z,Y,O,2,、角动量定理的积分形式,对（,5,）式积分：,设：在合外力矩,M,的作用下，,时间内,系统的角动量从,称为冲量矩,角动量定理（积分形式）,作用在质点系的冲量矩等于系统角动量的增量。,四、角动量守恒定律,对一个质点系而言，若,则：,角动量守恒定律：当系统所受合外力矩恒为零时，质点系的角动量保持不变。,在由,A,B,的过程中，子弹、木块系统机械能守恒,例,2.16,在光滑的水平桌面上，放有质量为,M,的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在,O,点，弹簧的劲度系数为,k,，设有一质量为,m,的子弹以初速 垂直于,OA,射向,M,并嵌在木块内，如图,2.31,所示,.,弹簧原长 ，子弹击中木块后，木块,M,运动到,B,点时刻，弹簧长度变为,l,，此时,OB,垂直于,OA,，求在,B,点时，木块的运动速度,.,解击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿,方向,动量守恒,，即有,在由,A,B,的过程中木块在水平面内只受指向,O,点的弹性有心力，故木块对,O,点的角动量守恒，设,与,OB,方向成,角，则有,由,、,式联立求得,的大小为,由,式求得,与,OB,的夹角为,随堂小议,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,小议链接,1,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,2,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,3,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,4,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议分析,同高,从静态开始往上爬,忽略轮、绳质量及轴摩擦,质点系,若,系统受合外力矩为零，,角动量守恒,。,系统的初态角动量,系统的末态角动量,得,不论体力强弱，两人等速上升。,若,系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。,可,应用,质点系角动量定理,进行具体分析讨论。,绳子，猴子，法码构成的系统，运动过程中，,系统受猴子重力，法码重力，悬挂滑轮的支,持力,F,。以滑轮中心,O,为转动中心。由于猴子,重力法码重力，所以任意时刻两重力对,O,点,的合力矩为,0,，又由于力,F,对,O,点无矩，所以系,统所受合外力矩为,0,。,对于,m1,、,m2,滑轮构成的系统，受到两个重力，,悬挂滑轮的支持力的作用，支持力对,O,点无矩，,由于两个重力相等，所以任意时刻两重力对,O,点,的合力矩为,0,，所以系统所受合外力矩为,0,。,角动量守恒,。,例,2.17,一质点,m,被一长为,l,的轻线悬于天花板上的,B,点，质点,m,在水平面内作匀角速,的圆周运动，设圆轨道半径为,.,试计算,(1),质点,m,对圆心,O,和悬点,B,的角动量,和,；,(2),作用在质点,m,上的重力,mg,和张力,T,对圆心,O,和悬点,B,的力矩,和,；,(3),试讨论,m,对,O,点或,B,点的角动量是否守恒,(,如图,2.32,所示,).,解,(1),在图,(a),中由圆心,O,点向质量,m,引矢量,，则,其方向垂直于轨道平面沿,OB,方向向上，因为,m,v,，故,即圆锥摆对圆心,O,点的角动量,是个沿,OB,向上的大小和方向都不变的恒矢量,.,在图,(b),中，由悬点,B,向在某位置,P,处的质点,m,引矢径,，则,(2),如图,(c),，质点,m,所在位置对于圆心,O,，张力,T,的力矩为,因在竖直方向有,T,cos,mg,，所以,即 的方向垂直于 与,mv,所组成的平面,.,显然，质点,m,在不同的位置处，例如在,p,点处，其矢径 和动量,mv,各不相同，因此，其矢积,也不相同,.,即 的方向是不断地变化着的,.,这时 的大小为,其方向垂直于纸面向外，大小为,此时重力对圆心,O,的力矩为,由上面计算可以得出，作用在质点,m,上的张力,T,，重力,m,g,对圆心,O,的合力矩为,其方向垂直于纸面向里,.,因,m,g,始终垂直于轨道平面，所以,m,g,，故,的大小为,同样，如图,(c),质点所在位置，对于悬点,B,，张力,T,因与,始终共线，故,T,对,B,点的力矩为零,.,而重力,m,g,对,B,点的力矩为,其方向始终垂直于,与重力作用线,m,g,所组成的平面,.,由于,的方向在不断地变化，所以 的方向也在不断地变化，如图,(c),所在位置，的方向垂直于纸面向里,.,(3),由,(2),中的讨论可知，重力,m,g,和张力,T,对,O,点的合力矩为零,(,实际上,m,g,与,T,的合力构成了,m,作圆周运动的向心力，为有心力，其对,O,点合力矩必定为零,),，所以质点,m,对,O,点的角动量守恒，这与,(1),中讨论一致,.,同样，由,(2),中讨论知，因,m,g,对,B,点的力矩方向始终变化，即对,B,点的力矩不为零，故质点,m,对,B,点的角动量不守恒,.,这与前面结果也是一致的,.,例,1,：计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时 的角动量。,已知：,求：,L,解：以原子核为参考点,此值为狄拉克,h,：,M,例题,2,：,一质量为,m,的质点以速度 从参考点平抛出去，用角动量定理求质,点所受的重力对参考点的力矩。,解：,X,Y,Z,O,例,3,：用角动量守恒定律导出,开普勒第二定律,-,行星单位时间内扫过的面积相等。,O,a,b,c,解,：设行星绕太阳运,动,在,时间 内，从,a,点运动到,b,点，其速率,为 。,t,作直线,bc,垂直于,oa,，,因,t,很小,t,时间内扫过的面积,(,行星质量为,m),O,a,b,c,t,时间内扫过的面积,（,证毕）,因为行星是在有心力的作用下运动的，故角动量守恒（,L,不变），行星的质量是常数,.,所以,例,4,：,质量为,m,的小球,A,，,以速度 沿质量为,M,的，半径为,R,的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴,OO,与 平行，小球,A,的轨道与轴,OO,相交于,3R,的,C,点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球,A,在,C,点的 与 之间的夹角,。,已知：,求,：,解,：以,M,，,m,为研究对象。,系统只受万有引力（保守力）故机械,能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。,以无穷远为势能零点，则：,O,M,地,Y,X,O,Z,m,C,由（,1,）式：,由（,2,）式：,O,M,地,Y,X,O,Z,m,C,O,M,地,Y,X,O,Z,m,C,
展开阅读全文