用待定系数法求二次函数解析式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专题复习,用待定系数法求二次函数解析式,双柏县教育局教研室,郎绍波,一、复习目标：,1.,理解并记住二次函数解析式的三种形式：,一般式，顶点式，两根式,2.,灵活应用二次函数的三种形式，以便在用待定系数法求解二次函数解析式时减少未知数的个数，简化运算过程。,二、复习重点和难点：,根据问题灵活选用二次函数解析式的不同形式，既是重点又是难点。,三、复习内容：,（一）提问：,在一次函数图象及性质一节中，我们已经学过了待定系数法，请回答用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么？,待定系数法求函数的解析式一般步骤是：,（,1,）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；,（,2,）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。,（,3,）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。,（二）方法：,1.,一般式：,y=ax,2,+bx+c(a0),已知图象上三点坐标，特别是已知函数图象与,y,轴的交点坐标（,0,，,c,）,时，使用一般式很方便。,例,1.,已知二次函数图象经过,A(2,-4),B(0,2),C(-1,2),三点，,求此函数的解析式。,解,：设二次函数解析式为,y=ax,2,+bx+c,图象过,B(0,2),c=2,y=ax,2,+bx+2,图象过,A(2,-4),C(-1,2),两点,-4=4a+2b+2,2=a-b+2,解得,a=-1,b=-1,函数的解析式为：,y=-x,2,-x+2,2.,顶点式,y=a(x+h),2,+k(a0),已知对称轴方程,x=-h,、,最值,k,或顶点坐标,（,-h,k,）,时优先选用顶点式。,例,2.,已知一个二次函数的图象经过点,(4,-3),，并且当,x=3,时有最大值,4,，试确定这个二次函数的解析式。,解法,1,：,（利用顶点式）,设二次函数解析式为：,y=a(x+h),2,+k(a0),当,x=3,时，有最大值,4,顶点坐标为,(3,4),h=-3,k=4,y=a(x-,3,),2,+,4,函数图象过点（,4,，,-3,）,a(4-3),2,+4=-3,a=-7,y=-7(x-3),2,+4,=-7x,2,+42x-59,二次函数的解析式为：,y=-7x,2,+42x-59,解法,2,：,（利用一般式）,设二次函数解析式为：,y=ax,2,+bx+c(a0),由题意知,16a+4b+c=-3,-b/2a=3,(4ac-b,2,)/4a=4,解方程组得：,a=-7,b=42,c=-59,二次函数的解析式为：,y=-7x,2,+42x-59,3,两根式,y=a(x-x,1,)(x-x,2,),知道抛物线与,x,轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便,（,1,）当,=b,2,-4ac0,，,抛物线与,x,轴相交,y=ax,2,+bx+c,=a(x-x,1,)(x-x,2,),=b,2,-4ac,0,，,交点有两个，,分别是：（,x,1,0,）,和（,x,2,0,）,=b,2,-4ac,=0,交点只有一个,即顶点,-b/2a,(4ac-b,2,)/4a,=b,2,-4ac,0,无交点,（,2,）当,=b,2,-4ac0,时，,方程,ax,2,+bx+c,0,无解，,二次三项式,ax,2,+bx+c,不能分解,抛物线与,x,轴不相交。,（,3,）若抛物线与,x,轴的两个交点的横坐标分别为,x,1,、,x,2,，,那么对称轴方程为：,x=(x,1,+x,2,)/2,例,3.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象过点,A(0,-5),B(5,0),两点，它的对称轴为直线,x=3,，,求这个二次函数的解析式。,解,:,二次函数的图象过点,B(5,0),对称轴为直线,x=3,设抛物线与,x,轴的另一个交点,C,的坐标为,(,x,1,0),则对称轴：,x=(x,1,+x,2,)/2,即：,(5,x,1,)/2,3,x,1,=1,c,点的坐标为,(1,0),设二次函数解析式为：,y=a(x-1)(x-5),图象过,A(0,-5),-5=a(0-1)(0-5),即,-5=5a,a=-1,y=-(x-1)(x-5),=-x,2,+6x-5,（三）练习题,二次函数图象经过点,(1,4),(-1,0),和,(3,0),三点，,求二次函数的解析式。,解法,1,：（,一般式,）,设二次函数解析式为,y=ax,2,+bx+c,二次函数图象过点,(1,4),(-1,0),和,(3,0),a+b+c,=4 ,a-,b+c,=0 ,9a+3b+c=0 ,-,得：,2b=4,b=2,代入,、,得：,a+c,=2,9a+c=-6,-,得：,8a=-8,a=-1,代入,得：,c=3,函数的解析式为：,y=-x,2,+2x+3,解法,2,：（,顶点式,）,抛物线与,x,轴相交两点,(-1,0),和,(3,0),，,1=(-1+3)/2,点,(1,4),为抛物线的顶点,由题意设二次函数解析式为：,y=a(x+h),2,+k,y=a(x-,1,),2,+,4,抛物线过点,(-1,0),0=a(-1-1),2,+4,得,a=-1,函数的解析式为：,y=-1(x-1),2,+4,=-x,2,+2x+3,解法,3,：（,两根式,）,由题意可知两根为,x,1,=-1,、,x,2,=3,设二次函数解析式为,y=a(x-x,1,)(x-x,2,),则有：,y=a(x+1)(x-3),函数图象过点,(1,4),4=a(1+1)(1-3),得,a=-1,函数的解析式为：,y=-1(x+1)(x-3),=-x,2,+2x+3,谢谢！,再见！,