第十四章 第二节 复数代数形式的四则运算

高考总复习,.,文科,.,数学,第二章 推理与证明,第二节 复数代数形式的四则运算,课前自主学案,1,复数代数形式的四则运算,(1),(2),(3),2,常见运算规律,(1)i,的幂运算,i,4n,=_,；,i,4n+1,=_,；,i,4n+2,=_,；,i,4n+3,=_,（,n R),1,i,-1,-i,（,2,）,（,3,）,（,4,）,3,复数运算所满足的运算律,（,1,）复数的加法运算满足交换律：,（,2,）复数的加法运算满足结合律：,（,3,）乘法运算律：,4,算数加减法的几何意义,复数加法的几何意义：如果复数 分别对应于向量 ，那么，以,OP,1,，,OP,2,为两边作平行四边形,OP,1,SP,2,，对角线,OS,表示的向量 就是,z,1,+z,2,的和所对应的向量,.,（,2,）复数减法的几何意义：两个复数的差,z,1,z,2,与连结向量 的终点，并指向被减数的向量 对应,.,基础自测,1.,（,2009,年浙江卷）设,z=1+i,（,i,是虚数单位），则,A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i,解析：,故答案选,A,2,（,2009,年广东卷）下列,n,的取值中，使,i,n,=1(i,是虚数单位,),的是（）,An,=2 ,Bn,=3,Cn,=4 ,Dn,=5,解析：由,i,4,=1,知答案为,A,3,（,2009,年北京宣武区期末）已知复数 ，则复数,zi,在复平面内的对应点位于（）,A,第一象限,B,第二象限,C,第三象限,D,第四象限,解析：,答案：,A,4,（,2009,年天津和平区模拟）复数,z=(a-1)+(a+1)i(aR),是纯虚数，则,A.-1 B.1,C.-i D.i,解析：因为,z,是纯虚数，所以,答案选,D,课堂互动探究,复数的代数运算,计算下列式子：,（,1,）,i,是虚数单位，求 的结果（用,a+bi,的形式表示，,a,bR,）。,（,2,）,解析：（,1,）,解析：（,2,）,所以原式,=,点评：,复数代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算若在进行运算的过程中，能运用 等结论，可以提高运算的速度,变式探究,1.,（,2008,年江苏卷）将 表示为：，则,a+b,=_,解析：本小题考查复数的除法运算,a=0,b=-1,，因此,a+b,=-1.,答案：,-1,复数代数形式运算的几何意义,如右图所示，已知,A,、,B,、,C,、,D,为平行四边形的四个顶点，顶点,A,、,B,分别对应复数，,向量 对应复数,，分别求向量 与点,C,、,D,对应的复数,.,分析：复数加、减法的几何意义可按平面向量加减法的几何意义进行理解,.,要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的起点和终点即可,.,解题中要注意结合图形的特点进行讨论,.,解析：由复数加法的几何意义可知：,C,点对应的复数为,(1-2i)+(-2+6i)=-1+4i,。,对应的复数，分三种情况：,（,1,）当,AD,为平行四边形对角线时，对应的复数为：,(-2+6i)+,(3+2i),(1-2i),=10i,，,此时，,D,对应的复数为：,(1-2i)+10i=1+8i.,（,2,）当,AC,为平行四边形对角线时，对应的复数为：,(-2+6i)+,(3+2i),(1-2i),=-4+2i,，,此时，,D,对应的复数为：,(1-2i)+(-4+2i)=,3.,（,3,）当,AB,为平行四边形对角线时，对应的复数为：,(3+2i)-(1-2i),-(-2+6i)=4-2i,，,此时，,D,对应的复数为：,(1-2i)+(4-2i)=5-4i.,点评：,复数代数形式加减法运算的几何意义，是考查的一个重点，在解题时应充分理解几何意义的本质，根据图形分类讨论,.,变式探究,2.,（,2009,年湛江模拟）在复平面内,复数,=,对应的向量为 ，复数,2,对应的向量为 ，那么向量 对应的复数是（）,A.1 B.-1 C.,D.,答案是,D,复数的综合应用,已知,z,是复数，均为实数（,i,为虚数单位），且复数,(z+ai),2,在复平面上对应的点在第一象限，求实数,a,的取值范围,.,分析：,只要设,z=,x+yi(x,、,yR,),代入已知条件中，并结合复数表示实数的条件，可求出,z.,复数对应的点在第一象限,.,即要求它的实部和虚部都大于零,.,解析：设,z=,x+yi(x,、,yR,），,z+2i=x+(y+2)i,，由题意得,y=-2.,.,由题意得,x=4,，,z=4,2i.,根据条件，可知，,解得,2,a,6,，,即实数,a,的取值范围是,(2,6).,点评：,复数问题实数化是解决复数问题最常用的思想方法,.,利用复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件，复数相等的充要条件，复数与复平面上的点对应等可将复数问题转化为实数问题进行解决,.,变式探究,3,若复数,z,1,与,z,2,在复平面上所对应的点关于,y,轴对称，且,z,1,(3-i)=z,2,(1+3i),|z,1,|=,，求,z,1,解析：设,z,1,=,a+bi,，则,z,2,=-,a+bi,，,则：,解得：,或,则,z,1,=1-i,或,z,1,=-1+i,温馨提示,复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“,i”,的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式乘法相类似，只是在结果中把,i,2,换成,-1.,复数除法可类比实数运算中的分母有理化,.,复数加、减法的几何意义可依平面向量加、减法的几何意义进行理解,.,题型展示台,（,2009,年湖北卷）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为,m,和,n,，则复数,(,m+ni)(n,-mi),为实数的概率为,_,A1/3,B1/4,C1/6,D1/12,解析：,(,m+ni)(n,-mi)=2mn+(n,2,-m,2,)i,，它为实数的等价条件是,m,2,=n,2,，又,m,、,n,均为正整数，,m=n,故问题事件所含基本事件有,(1,，,1),(2,，,2),(3,，,3),(4,，,4),(5,，,5),(6,，,6),六个，基本事件空间中含有,36,个基本事件，,6/36=1/6,故选,C,答案：,C,2009,年上海九校联考）复数,z=,x+yi,（,x,yR,）满足,|z-1|=x,，则复数,z,对应的点,Z(x,y,),的轨迹方程为,_,解析：由,|z-1|=x,得,|(x-1)+yi|=x,，故,(x-1),2,+y,2,=x,2,x0,，整理得,y,2,=2x-1,答案：,y,2,=2x-1(x0),题型训练,1.,（,2009,年茂名模拟）定义运算,复数,z,满足,，则,z=,_,解析：,故,答案是：,2-i,2(2009,年金陵中学三模,),已知复数,z,1,=-1+2i,z,2,=1-i,z,3,=3-2i,它们所对应的点分别为,A.B.C.,若 ，则,x+y,的值是,_,解析：得,故,解得：,故,x+y,=5,答案：,5,祝,您,学业有成,