高等代数--洛朗级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 洛朗级数,二、洛朗级数的概念,三、函数的洛朗展开式,一、问题的引入,五、小结与思考,四、典型例题,1,一、问题的引入,问题,:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,2,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,3,结论,:,.,常见的特殊圆环域,:,.,.,.,4,例如，,都不解析,但在圆环域,及,内都是解析的,.,而,2.,问题,:,在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数,?,5,所以,即,内可以展开成级数,.,也可以展开成级数：,6,二、洛朗级数的概念,定理,C,为圆环域内绕,的任一正向简单闭曲线,.,为洛朗系数,.,7,证,对于第一个积分,:,R,r,.,z,.,.,8,对于第二个积分,:,9,其中,10,下面证明,11,则,12,如果,C,为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,闭曲线,.,则,可用一个式子表示为,:,证毕,根据是什么？,13,说明,:,函数,在圆环域内的,洛朗展开式,在圆环域内的,洛朗,(Laurent),级数,.,1),2),某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是,f,(,z,),的洛朗级数,.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法,.,14,三、函数的洛朗展开式,常用方法,:1.,直接法,2.,间接法,1.,直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点,:,计算往往很麻烦,.,15,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开,.,优点,:,简捷,快速,.,2.,间接展开法,16,四、典型例题,例,1,解,由定理知,:,其中,17,故由柯西,古萨基本定理知,:,由高阶导数公式知,:,18,另解,本例中圆环域的中心,z,=0,既是各负幂项的奇点,19,例,2,内是处处解析的,试把,f,(,z,),在这些区域内展开成,z,0,=0,的洛朗级数,.,解,20,o,x,y,1,21,1,2,o,x,y,由,且仍有,22,2,o,x,y,由,此时,23,仍有,24,注意,:,奇点但却不是函数,的奇点,.,本例中圆环域的中心,是各负幂项的,说明,:,1.,函数,在以,为中心的圆环域内的洛朗级,数中尽管含有,的负幂项,而且,又是这些,项的奇点,但是,可能是函数,的奇点,也可能,的奇点,.,不是,25,2.,给定了函数,与复平面内的一点,以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开,式,(,包括泰勒展开式作为它的特例,).,回答：不矛盾,.,朗展开式是唯一的,),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾,?,(,唯一性,:,指函数在某一个给定的圆环域内的洛,26,解,例,3,27,例,4,解,28,例,5,内的洛朗展开式,.,解,29,30,31,五、小结与思考,在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函,数展开成洛朗级数的方法,.,将函数展开成洛朗级,数是本节的重点和难点,.,32,洛朗级数与泰勒级数有何关系,?,思考题,33,洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是,一个普通幂级数,;,思考题答案,是一般与特殊的关系,.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,放映结束，按,Esc,退出,.,34,