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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章题头,第五章,rigid body rotation with a fixed axis,law of conservation of angular momentum,chapter 5,刚体的定轴转动,内容提要,本章内容,Contents,chapter 5,刚体的定轴转动,rotation of rigid-body with a fixed axis,刚体作定轴转动时的功能关系,relation of work with energy in rotation of rigid-body,角动量与角动量守恒,angular momentum and,law of conservation of angular momentum,刚体的角动量守恒,law of conservation of angular momentum of rigid-body,第一节,角动量与角动量守恒定律,刚体定轴转动的描述,5 - 1,rotation of rigid-body with a fixed axis,刚体及其平动,rigid body and its translation,刚体及其平动,刚体及其平动,形状固定的质点系（含无数,刚 体,质点、不形变、理想体。）,rigid body,平 动,刚体任意两点的连线保持方,向不变。各点的,相同，可当作质点处理。,translation,刚体定轴转动,rigid body rotation with a fixed axis,刚体定轴转动,刚体定轴转动,刚体的定轴转动,刚体每点绕同一,轴线作圆周运动，,且该转轴空间位置,及方向不变。,定轴转动参量,刚体定轴转动的运动方程,用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则,1,.,角位置,描述刚体定轴转动的物理量,描述刚体（上某点）的位置,2,.,角位移,描述刚体转过的大小和方向,刚体,转轴,转动平面,（,包含,p,并与转轴垂直）,(,t,),参考方向,刚体中任一点,(,t,+,t,),3,.,角速度,静止,常量,匀角速,变角速,描述刚体转动的快慢和方向，,常量,是转动状态量。,刚体定轴转动的运动方程,用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则,1,.,角位置,描述刚体定轴转动的物理量,描述刚体（上某点）的位置,2,.,角位移,描述刚体转过的大小和方向,刚体,转轴,转动平面,（,包含,p,并与转轴垂直）,(,t,),参考方向,刚体中任一点,(,t,+,t,),3,.,角速度,静止,常量,匀角速,变角速,描述刚体转动的快慢和方向，,常量,是转动状态量。,续参量,描述刚体转动状态改变,4,.,角加速度,的,快慢和改变的方向,常量,匀角,加速,匀角速,变角,加速,常量,因刚体上任意两点的,距离不变，故刚体上各点,的 相同。,定轴,转动的 只有,同 和反 两个方向，故,也,可用标量,中的正和负表方向代替矢量。,第二节,角动量 角动量守恒定律,角动量 转动惯量 角动量守恒定律,5 - 2,angular momentum and,law of conservation of angular momentum,第二节,一、角动量,angular momentum,r,O,m,v,速度,位矢,质量,角,夹,r,v,大量天文观测表明,r,m,v,sin,常量,大小：,L,r,m,v,sin,方向：,r,m,v,(,),r,v,L,定义：,r,p,L,r,m,v,运动质点,m,O,对,点的,角动量,为,角动量与角动量守恒定律,角动量与角动量守恒定律,Angular momentum and,law of conservation of angular momentum,问题的提出,二、质点的角动量定理及其守恒定律,theorem of partical angular momentum and its conservation,地球上的单摆,大小会变,变,太阳系中的行星,sin,大小,未必,会变。靠什么判断？,变,变,变,sin,大小,质点 对,的,角动量,问题的提出,质点角动量定理,导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？,思路：,分析,与,什么有关,由,则,两,平行矢量的叉乘积为零,得,角动量的时间变化率,质点 对参考点 的,位置矢量,所受的合,外力,等于,叉乘,质点的角动量定理,微分形式,是,力矩,的矢量表达：,而,即,力矩,大小,sin,方向,垂直于,所,决定,的,平面，由右螺旋法则定指向。,得,质点 对给定参考点 的,角动量的时间变化率,所受的合,外力矩,称为质点的,角动量定理,的微分形式,如果各分力与,O,点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。,积分形式,质点的角动量定理也可用积分形式表达,由,称为,冲量矩,角动量的增量,这就是质点的,角动量定理,的积分形式,例如,，,单摆的角动量大小为,L,=,mv,r,v,为变量。,在,t,=,0,时从水平位置静止释放，初角动量大小为,L,0,=,m v,0,r,=,0,；,时刻,t,下摆至铅垂位置，,角动量大小为,L,=,m v,r,。,则此,过程单摆所受的冲量矩大小等于,L,-,L,0,=,m v,r,=,m r 2gr,。,归纳,归纳,质点的,角动量定理,角动量的时间变化率,所受的合,外力矩,冲量矩,角动量的增量,微分形式,积分形式,特例：,当,0,时，,有,0,即,物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零,（如,有心力作用）时，质点的角动量,前后不改变。,（后面再以定律的形式表述这一重要结论）,质点角动量守恒,质点的角动量守恒定律,根据质点的,角动量定理,若,则,即,常,矢量,当质点 所,受的合,外力对某参考点 的力矩,为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为,零，即质点对该点的角动量 守恒。,质点的角动量守恒定律,质点的角动量守恒定律,称为,若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。,开普勒第二定律,应用质点的角动量守恒定律可以证明,开普勒第二定律,行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积,定律证明,证：,时刻,m,对,O,的角动量大小为,sin,即,因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。,瞬间,位矢扫过的微面积,则,常量,（,称为掠面速率）,故，,位矢在相同时间内扫过的面积相等,质点系角动量,三、质点系的角动量定理,theorem of angular momentum of partical system,质点系的角动量,质点系的角动量,各质点对给定参考点的,角动量的矢量和,惯性系中某给定参考点,质点系角动量定理,质点系的角动量定理,将,对,时间求导,内力矩,在求矢量和时成对相消,内,内,外,外,某给定参考点,内,外,外,内,外,得,外,质点系的角动量,的,时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,称为,微分形式,微、积分形式,质点系的角动量定理,将,对,时间求导,内力矩,在求矢量和时成对相消,内,内,外,外,某给定参考点,内,外,外,内,外,得,外,质点系的角动量,的,时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,称为,微分形式,外,质点系的角动量,的,时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,的微分形式,质点系所受的,质点系的,冲量矩,角动量增量,质点系的角动量定理,的积分形式,若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。,质点系角动量守恒,质点系的角动量守恒定律,外,由,若,则,或,恒,矢量,当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。,随堂小议,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,小议链接,1,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,2,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,3,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接,4,（,请点,击你要,选择的项目）,两人,质量相等,一人握绳,不动,一人,用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,两人,同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议分析,同高,从静态开始往上爬,忽略轮、绳质量及轴摩擦,质点系,若,系统受合外力矩为零，,角动量守恒,。,系统的初态角动量,系统的末态角动量,得,不论体力强弱，两人等速上升。,若,系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。,可,应用,质点系角动量定理,进行具体分析讨论。,转动惯量,刚体的转动惯量,物理,意义,：转动惯性的量度,.,质量离散分布刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,质量连续分布刚体的转动惯量,：质量元,转动惯量,对质量线分布的刚体：,：质量线密度,对质量面分布的刚体：,：质量面密度,对质量体分布的刚体：,：质量体密度,：质量元,质量连续分布刚体的转动惯量,分立质点的算例,转动惯量的计算举例,可视为分立质点结构的刚体,转轴,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则,转轴,sin,sin,0.75,直棒算例,质量连续分布的刚体,匀直细杆对中垂轴的,匀直细杆对,端垂,轴的,质心,新轴,质心轴,平行移轴定理,对,新,轴,的,转动惯量,对质心轴,的,转动惯量,新轴,对心,轴的,平移量,例如：,时,代入可得,端,圆盘算例,匀质薄,圆盘对心垂轴的,取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元,第三节,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,5 - 3,angular momentum and,law of conservation of angular momentum,刚体转动定律引言,刚体的转动定律,刚体的转动定律,质 点,的运动定律,或,刚体平动,F,=,m,a,惯性质量,合 外 力,合,加速度,若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律,主要概念,使,刚体产生转动效果的,合外力矩,刚体的,转动定律,刚体的,转动惯量,合外力矩,外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动,M,=,r,F,1,1,1,力矩,切向,1,F,t,F,r,M,叉乘右,螺旋,1,M,2,M,M,=,r,F,2,2,2,M,=,r,F,sin,j,2,2,2,大小,2,r,2,=,2,F,t,d,2,=,2,F,1,M,2,M,合,外力矩,=,M,+,d,2,2,F,大小,M,=,d,1,1,F,=,r,2,2,F,t,r,1,1,F,t,r,1,=,1,F,t,M,=,r,F,sin,j,1,1,1,大小,1,d,1,=,1,F,j,1,d,1,r,1,F,1,P,1,O,F,2,r,2,2,F,t,P,2,j,2,d,2,切向,一、外力矩与合外力矩,方向,转动定律,某质元,f,i,受,内力,受,外力,F,i,F,i,+,f,=,a,i,i,其法向,n,分量均通过转轴，,不产生转动力矩。,t,其切向,投影式为,i,j,F,i,sin,+,i,f,sin,q,i,t,=,a,i,=,r,i,b,t,n,F,i,O,r,i,f,i,i,j,q,i,瞬时,角速度,角加速度,瞬时,等式两边乘以,r,i,并对所有质元及其所受力矩求和,=,内力矩成对抵消,=,0,+,r,i,i,f,sin,q,i,i,F,i,j,sin,r,i,合,外力矩,M,b,r,i,得,M,b,r,i,=,二、刚体的转动定律,转动定律例题一,三、转动定律应用选例,合外力矩 应由各分力矩进行合成 。,合,外力矩 与合角加速度 方向一致。,在定轴转动中，可,先设,一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。,与,时刻对应，何时,何时,则何时 ，,则何时,恒定,恒定。,匀,直细杆,一端为轴水平静止释放,cos,cos,转动定律例题二,已知,T,1,T,2,a,（以后各例同）,R,m,1,m,2,m,轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑,解法,提要,T,2,T,1,G,1,G,2,T,2,T,1,a,a,b,T,1,m,1,g,=,m,1,a,m,2,g,T,2,=,m,2,a,(,T,2,T,1,),R =,I,b,a =,R,b,I = m R,2,2,转动,平动,线,-,角,联立解得,a,=,m,1,m,1,+ m,2,+,g,m,2,m,2,1,g,T,1,=,m,1,(,g,+,a,),T,2,=,m,2,(,g,a,),m,1,g,m,2,g,如果考虑有转动摩擦力矩,M,r,则 转动式为,(,T,2,T,1,),R,M,r,=,I,b,再联立求,解。,转动定律例题三,R,m,1,m,细绳,缠绕轮缘,R,m,（,A,）,（,B,）,恒力,F,滑轮角加速度,b,细绳线加速度,a,解法,提要,（,A,）,（,B,）,转动定律例题四,R,m,1,m,2,m,已知,m,= 5kg,m,2,= 1kg,m,1,= 3kg,R,= 0.1m,T,2,T,1,T,1,T,2,G,1,G,2,b,a,a,解法,提要,对,m,1,m,2,m,分别应用,和,质点运动和刚体转动定律,m,1,g,T,1,=,m,1,a,T,2,m,2,g,=,m,2,a,(,T,1,T,2,),R =,I,b,及,a =,R,b,I = mR,2,2,1,得,b,=,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),常量,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),故,由,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),2,(,rad,),g,t,物体从静止开始运动时，滑轮的,转动方程,第四节,刚体定轴转动的功能关系,刚体转动中的功和能,5 - 4,relation of work with energy in rotation of rigid-body,第四节,刚体中任一质元 的速率,该质元的,动能,对,所有质元的动能求和,转动惯量,I,I,得,刚体,转动动能,公式,一、转动动能,刚体定轴转动的功能关系,刚体定轴转动的功能关系,Relation of work with energy in rotation of rigid-body,力矩的功,二、力矩的功和功率,力,的元功,cos,sin,sin,力对,转动刚体所作的功用力矩的功来计算,若在,某变,力矩 的作用下，刚体由 转到 ，,作的总功为,力矩的瞬时功率,力矩的功算例,拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小,解法,提要,总,摩擦力矩 是,各微环带,摩擦元力矩 的积分,环带,面积,环带,质量,环带受,摩擦力,环带受,摩擦力矩,圆盘受总摩擦力矩,转一周,摩擦力矩的总功,得,已知,粗 糙 水 平 面,转轴,平放一,圆盘,刚体的动能定理,三、刚体转动的动能定理,回忆质点的动能定理,刚体转动的动能定理,由,力矩的元功,转动定律,则,合,外力矩的功,转动动能的增量,刚体转动的动能定理,称为,动能定理例题一,匀质圆盘,盘缘另,固,连,一,质点,水平静止释放,通过盘心垂直盘面的水平轴,圆盘下摆 时质点 的,角速度,、切向、法向加速度,的,大小,解法,提要,对,系统,外力矩的功,系统转动动能增量,其中,sin,得,由,转动定律,得,cos,则,动能定理例题二,解法,提要,外力矩作的总功,cos,从,水平摆至垂直,由,得,代入得,本题,利用,的,关系,还可算出,此时杆上各点的线速度,已知,水平位置静止释放,摆至垂直位置时杆的,匀直细杆,一端为轴,动能定理例题三,解法,提要,段，外力矩作正功,cos,段，外力矩作负功,cos,合,外力矩的功,从,水平摆至垂直,由,得,转轴对质心轴的位移,代入得,已知,摆至垂直位置时杆的,水平位置静止释放,含平动的转动问题,四、含 的功能原理,质 点 平 动,刚体定轴转动,机械,外,力,非,保守内,力矩,力,力矩,动,势,动,势,平动,转动,平动,转动,系统（轮、绳、重物、地球）,左例,忽略摩擦,外,力,力矩,非,保守内,力矩,力,平动,转动,势,平动,转动,势,可求,或,此外,势,刚体的角动量,刚体的角动量,定轴转动刚体的角动量,定轴,转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加,所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动,任一质,元（视为质点）的质量,其,角动量大小,全部质元的总角动量,对质量连续分布的刚体,定轴转动刚体的角动量,大 小,方 向,与 同绕向,或 与 沿轴同指向,角动量,刚体的角动量定理,1.刚体的,角动量定理,合,外力矩,角动量的时间变化率,（,微分形式,）,（,积分形式,）,冲量矩,角动量的增量,刚体的角动量定理,刚体的角动量定理,回忆质点的角动量定理,（,微分形式,）,（,积分形式,）,刚体系统的角动量定理,2.刚体系统的,角动量定理,若,一个系统包含多个,共轴,刚体或平动物体,系统的总合外力矩,系统的总角动量的变化率,系统的总冲量矩,系统的总角动量增量,系统： 轻绳,（忽略质量）,总合外力矩,对,O,的角动量,对,O,的角动量,由,得,同向,而,解得,例如,静止释放,求,角加速度,主要公式归纳,刚 体,（,微分形式）,（,积分形式）,刚体系统,角动量定理,刚体的,归纳：,角动量,关键式：,是矢量式,与,质点平动对比,刚体的角动量守恒定律,刚体的角动量守恒定律,刚体的角动量守恒定律,刚体的,角动量定理,由,刚体所受合外力矩,若,则,即,常矢量,当刚体所受的合外力矩 等于零时，,刚体的角动量 保持不变,。,刚体的角动量守恒定律,回转仪定向原理,万向,支架,受合外力矩为零,回转体质量呈轴对称分布,轴,摩擦及空气阻力很小,角动量守恒,恒,矢量,回转仪定向原理,其中转动惯量,为,常量,若将,回转体转轴指向任一方向,使,其以角速度 高速旋转,则,转轴将保持该方向不变,而,不会受基座改向的影响,基 座,回转体,（,转动惯量 ）,角动量守恒的另一类现象,角动量守恒的另一类现象,变,小则,变大，,乘积,保持不变,，,变,大则,变小。,收臂,大,小,用外力矩启动转盘后撤除外力矩,张臂,大,小,花样滑冰中常见的例子,角动量守恒的另一类现象,变,小则,变大，,乘积,保持不变,，,变,大则,变小。,收臂,大,小,用外力矩启动转盘后撤除外力矩,张臂,大,小,花 样 滑 冰,收臂,大,小,张臂,大,小,先使自己转动起来,收臂,大,小,花样滑冰中常见的例子,花样滑冰,和跳水,共轴系统的角动量守恒,共轴,系统,若,外,则,恒,矢量,轮、转台与人系统,轮,人台,初态,全静,初,人,沿某一转向拨动轮子,轮,末态,人台,轮,轮,末,人台,人台,初,得,人台,人台,轮,轮,导致人,台,反向转动,直升飞机防旋措施,直升飞机防止机身旋动的措施,用两个对转的顶浆,（支奴,干,CH47),165,用 尾 浆,（美洲豹,SA300,）,（ 海豚,）,守恒例题一,已知,A,、,B,两轮共轴,A,以,w,A,作惯性转动,解法,提要,以,A,、,B,为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。,初态,角动量,末态角动量,得,两轮,啮合后,一起作惯性转动的角速度,w,AB,守恒例题二,解法,提要,以,弹、棒为系统,击入,阶段,子弹击入木棒瞬间,，,系统在,铅直位置，受合,外力矩为零,，角动量守恒。,该瞬间之始,该瞬间之末,弹,棒,弹,棒,已知,弹嵌于棒,子弹,上摆最大转角,木棒,上摆阶段,弹,嵌定于棒,内与棒,一起上摆，,非,保守内力的功为零，由系统动能定理,cos,cos,外力（重力）的功,外,上摆末动能,上摆初动能,其中,联立解得,守恒例题三,满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度,匀质直棒与,单摆小球的质量相等,两者共面共转轴,水平静止释放,静悬,弹碰,忽略摩擦,联立解得,0.577,1.861,解法,提要,对摆球、直棒系统,小球,下摆阶段,从,水平摆到弹碰即将开始,由,动能定理得,其中,球、棒相碰,瞬间,在铅垂位置，系统受合外,力矩为零,，角动量守恒。,刚要碰时系统角动量,刚碰过后系统角动量,球,棒,球,棒,弹碰阶段,弹碰,过程能量守恒,
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