微分法在几何上的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,上页,下页,返回,第六节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结 思考题,设空间曲线的方程,(1),式中的三个函数均可导,.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置,切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在,M,处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,.,法平面：过,M,点且与切线垂直的平面,.,解,切线方程,法平面方程,1.,空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.,空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在,M,处的切向量,在曲面上任取一条通过点,M,的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在,M,处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在,M,处的切平面方程为,曲面在,M,处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在,M,处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,(1),切平面方程,(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用,推导法,）,（求法向量的方向余弦时注意,符号,）,三、小结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,