微分方程建模

微分方程模,型,浙江大学数学建模实践基地,3.1,微分方程的几个简单实例,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,例,1,（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图,3-1,中不难看出，小球所受的合力为,mgsin,，,根据,牛顿第二定律,可得：,从而得出两阶微分方程：,（,3.1,）,这是理想单摆应满足的运动方程,（,3.1,）,是一个两阶非线性方程，不易求解。当,很小时，,sin,，,此时，可考察（,3.1,）的近似线性方程：,（,3.2,）,由此即可得出,（,3.2,）的解为,:,(,t,)=,0,cos,t,其中,当 时,(,t,)=0,故有,M,Q,P,mg,图,3-1,（,3.1,）,的近似方程,例,2,我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为,60,哩，潜水艇最大航速为,30,节而巡逻艇最大航速为,60,节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直,线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,设巡逻艇在,A,处发现位于,B,处的潜水艇，取极坐标，以,B,为极点，,BA,为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为,r,=,r,(,),，,见图,3-2,。,B,A,A1,dr,ds,d,图,3-2,由题意， ，故,ds,=2,dr,图,3-2,可看出，,故有,:,即,:,（,3.3,）,解为：,（,3.4,）,先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按,（,3.4,）,对数螺线航行，即可追上潜艇。,追赶方法如下：,例,3,一个半径为,R,cm,的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为,S,cm,2,的小孔在,t,=0,时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？,解,:,以容器的底部,O,点为 原点，取坐标系如图,3.3,所示。令,h,(,t,),为,t,时刻容器中水的高度，现建立,h,(,t,),满足的微分方程。,设水从小孔流出的速度为,v,(,t,),，,由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,即：,这是可分离变量的一阶微分方程，得,R,x,y,S,O,图,3-3,h,r,例,4,一根长度为,l,的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为,T,1,，,另一端温度恒为,T,2,，（,T,1,、,T,2,为常数，,T,1,T,2,）。,金属杆横截面积为,A,，,截面的边界长度为,B,，,它完全暴露在空气中，空气温度为,T,3,，（,T,3,钍,234-24,天,-,钋,234-6/5,分,-,铀,234-257,亿年,-,钍,230-8,万年,-,镭,226-1600,年,-,氡,222-19/5,天,-,钋,218-3,分,-,铅,214-27,分,-,钋,214-,铅,210-20,年,-,铋,210-5,天,-,钋,210-138,天,-,铅,206,（一种非放射性物质）,注：时间均为半衰期,(2),地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之,2.7,（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于,23%,的。,简化假定,：,本问题建模是为了鉴定几幅不超过,300,年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：,(1),由于镭的半衰期为,1600,年，经过,300,年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的,90%,，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。,(2),铅,210,的衰变为：,铅,210,T=22,年,钋,210,铅,206,T=138天,若画为真品，颜料应有,300,年左右或,300,年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋,210,的分解数等于铅,210,的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于测量 。,建模：,(1),记提炼白铅的时刻为,t,=0,，,当时每克白铅中铅,210,的分子数为,y,0,，,由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅,210,每分钟分解数不能大于,30000,个。,若,则,（个）,这些铀约重,（克）,即每克白铅约含,0.04,克铀，含量为,4%,以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。,(2),设,t,时刻,1,克白铅中铅,210,含量为,y,(,t,),，,而镭的单位时间分解数为,r,（,常数），则,y,(,t,),满足微分方程：,由此解得,：,故：,画中每克白铅所含铅,210,目前的分解数,y,(,t,),及目前镭的分解数,r,均可用仪器测出，从而可求出,y,0,的近似值，并利用（,1,）判断这样的分解数是否合理。,Carnegie-Mellon,大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表,3-1,）。,油画名称,210,分解数（个,/,分）,镭,226,分解数（个,/,分）,1,、在埃牟斯的门徒,8.5,0.8,2,、濯足,12.6,0.26,3,、看乐谱的女人,10.3,0.3,4,、演奏曼陀琳的女人,8.2,0.17,5,、花边织工,1.5,1.4,6,、笑女,5.2,6.0,计算,y,0,（,个,/,分）,98050,157130,127340,102250,1274.8,-10181,表,3-1,对,“,在埃牟斯的门徒,”,，,y,0,98050,（,个,/,每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似可以判定（,2,），（,3,），（,4,）也是赝品。而（,5,）和（,6,）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。,判定,结果：,利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳,14,测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳,14,（,C,14,）。,有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的,C,14,处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，,1950,年在巴比伦发现一根刻有,Hammurabi,王朝字样的木炭，经测定，其,C,14,衰减数为,4.09,个,/,每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中,C,14,衰减数为,6.68,个,/,每克每分钟，,C,14,的半衰期为,5568,年，由此可以推算出该王朝约存在于,3900-4000,年前。,例,6,新产品的推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。,设需求量有一个上界，并记此上界为,K,，记,t,时刻已销售出的电饭包数量为,x,(,t,),，,则尚未使用的人数大致为,K,x,(,t,),，,于是由统计筹算律：,记比例系数为,k,，,则,x,(,t,),满足：,此方程即,Logistic,模型，解为：,还有两个奇解,:,x,=0,和,x,=,K,对,x,(,t,),求一阶、两阶导数：,x,(,t,)0,，即,x,(,t,),单调增加。,令,x,(,t,0,)=0，有,当,t,t,0,时，,x,(,t,),单调减小。,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有,20%,用户到有,80%,用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。,3.3,为什么要用三级火箭来发射人造卫星,构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？,1,、为什么不能用一级火箭发射人造卫星,?,（,1,）卫星能在轨道上运动的最低速度,假设：,（,i,）,卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星,在此轨道上作匀速圆周运动。,（,ii,）,地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫,星的引力忽略不计。,分析：,根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为,:,在地面有,:,得,:,k,=,gR,2,R,为地球半径，约为,6400,公里,故引力,:,假设,(,ii),dm,m-dm,v,u-v,假设,(,i),卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力,故又有,:,从而,:,设,g=9.81,米,/,秒,2,，得,:,卫星离地面高度,(,公里,),卫星速度,(,公里,/,秒,),100,200,400,600,800,1000,7.80,7.69,7.58,7.47,7.37,7.86,（,2,）火箭推进力及速度的分析,假设：,火箭重力及空气阻力均不计,分析：,记火箭在时刻,t,的质量和速度分别为,m,(,t,),和,(,t,),有：,记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为,u,（,常数），,由动量守恒定理：,0,和,m,0,一定的情况下，火箭速度,(t),由喷发速度,u,及质量比决定。,故：,由此解得：,(,3.11,),（,2,）火箭推进力及速度的分析,现将火箭,卫星系统的质量分成三部分：,（,i,）,m,P,（,有效负载，如卫星）,（,ii,）,m,F,（,燃料质量）,（,iii,）,m,S,（,结构质量,如外壳、燃料容器及推进器）。,最终质量为,m,P,+,m,S,，,初始速度为,0,，,所以末速度：,根据目前的技术条件和燃料性能，,u,只能达到,3,公里,/,秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过,6.6,公里,/,秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星,火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中,不断减少，那么末速度能达到要求吗？,2,、理想火箭模型,假设：,记结构质量,m,S,在,m,S,+,m,F,中占的比例为,，,假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以,与（,1-,）,的比例同时减少。,建模,:,由,得到：,解得：,理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为,m,P,，,所以最终速度为：,只要,m,0,足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。,考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使,=10.5,公里,/,秒才行，则可推算出,m,0,/,m,p,约为,51,即发射一吨重的卫星大约需要,50,吨重的理想火箭,3,、理想过程的实际逼近,多级火箭卫星系统,记火箭级数为,n,，,当第,i,级火箭的燃料烧尽时，第,i,+1,级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第,i,级火箭。用,m,i,表示第,i,级火箭的质量，,m,P,表示有效负载。,先作如下假设：,（,i,）,设各级火箭具有相同的, ,即,i,级火箭中,m,i,为结构质量，（,1-,）,m,i,为燃料质量。,（,ii,）,设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为,k,。,考虑二级火箭：,由,3.11,式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：,当第二级火箭燃尽时，末速度为：,该,假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧,又由假设（,ii,），,m,2,=,km,P,，,m,1,=,k,(,m,2,+,m,P,),，,代入上式，仍设,u,=3,公里,/,秒，且为了计算方便，近似取,=0.1,，,则可得：,要使,2,=10.5,公里,/,秒，则应使,:,即,k,11.2,，,而,:,类似地，可以推算出三级火箭：,在同样假设下,:,要使,3,=10.5,公里,/,秒，则,(,k,+1)/(0.1,k,+1)3.21,，,k3.25,，,而,（,m,1,+,m,2,+,m,3,+,m,P,）,/,m,P,77,。,三级火箭比二级火箭几乎节省了一半,是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,考虑,N,级火箭：,记,n,级火箭的总质量（包含有效负载,m,P,）为,m,0,，,在相同的假设下可以计算出相应的,m,0,/,m,P,的,值，见表,3,-,2,n,（,级数）,1 2 3 4 5,（理想）,火箭质量（吨）,/ 149 77 65 60,50,表,3,-,2,由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。,当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。,4,、火箭结构的优化设计,3,中,已经能说过假设,(,ii),有点强加的味道；现去掉该假设,，,在各级火箭具有相同,的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。,W,1,=m,1,+,+,m,n,+,m,P,W,2,=m,2,+,+,m,n,+,m,P,W,n,=,m,n,+,m,P,W,n,+1,=,m,P,记,应用（,3.11,）可求得末速度：,记,则,又,问题化为，在,n,一定的条件下，求使,k,1,k,2,k,n,最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,可以解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（,ii,）,相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！,3.4,药物在体内的分布,何为房室系统？,在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫,“,房室系统,”,的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。,房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为,“,交换,”,且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。,交换,环境,内部,单,房室系统,均匀分布,药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：,药物分布的单房室模型,单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设,t,时刻体内药物的总量为,x,(,t,),；,系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：,药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。,机体,环境,药物总量,图,3-8,假设药物均匀分布,情况,1,快速静脉注射,机体,环境,只输出不输入房室,其解,为：,药物的浓度：,与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：,负增长率的,Malthus,模型,在快速静脉注射时，总量为,D,的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为,V,，,则我们可以近似地将系统看成初始总量为,D,，,浓度为,D/V,，,只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：,（,3.12,）,情况,2,恒速静脉点滴,机体,环境,恒定速率输入房室,药物似恒速点滴方式进入体内，即,:,则体内药物总量满足：,（,x,(0)=0,）,（,3.13,）,这是一个一阶常系数线性方程，其解为：,或,易见,：,称为稳态血药浓度,对于多次点滴，设点滴时间为,T,1,，,两次点滴之间的间隔时间设为,T,2,，,则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后,T,2,时间内为情况,1,。故：,（第一次）,0,t,T,1,T,1,t,T,1,+,T,2,类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者,体内的初始药物浓度不为零。,情况,3,口服药或肌注,y(t),x(t),K,1,y,K,1,x,环境,机体,外部药物,口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为,K,1,，,即若记,t,时刻残留药物量为,y,(,t,),，则,y,满足：,D,为口服或肌注药物总量,因而,：,所以,：,解得,：,从而药物浓度,：,图,3-9,给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同。,图,3-9,我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度,C,(,t,),，,当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。,新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在,2003,年春夏之交的,SARS,（,非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗,SARS,的良药或预防,SARS,的有效疫苗来，但这只能是一种空想。,SARS,的突如其来，形成了,“,外行不懂、内行陌生,”,的情况。国内权威机构一度曾认为这是,“,衣原体,”,引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对,SARS,的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为,SARS,是病毒感染引起的肺炎，两个月后（,4,月,16,日），世界卫生组织正式确认,SARS,是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。,上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。,I,II,k,12,k,21,两房室系统,图,3-10,图,3-10,表示的是一种常见的两房室模型，其间的,k,12,表示由室,I,渗透到室,II,的变化率前的系数，而,k,21,则表示由室,II,返回室,I,的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。,当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统,，即,N,房室系统,hy,3.5,传染病模型,传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。,医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。,问题的提出：,设某地区共有,n,+1,人，最初时刻共有,i,人得病，,t,时刻已感染（,infective,）,的病人数为,i,(,t,),，,假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给,k,个人（,k,称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复,模型,1,此模型即,Malthus,模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。,已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。,则可导出：,故可得：,（,3.15,）,模型,2,记,t,时刻的病人数与易感染人数,（,susceptible,）,分别为,i,(,t,),与,s,(,t,),，,初始时刻的病人数为,i,。,根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，,其中：,解得：,（,3.17,）,可得：,（,3.16,）,统计结果显示，,(,3.17,),预报结果比,(,3.15,),更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称,最大值时刻,t,1,为此传染病的流行高峰。,令：,得：,此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。,模型,2,仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。,为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统,infective,recovered,susceptible,k,l,（,3.18,）,l,称为传染病恢复系数,求解过程如下：,对（,3,）式求导，由（,1,）、（,2,）得：,解,得：,记：,则：,将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（,recovered,）。,分别记,t,时刻的三类人数为,s,(,t,),、,i,(,t,),和,r,(,t,),，,则可建立下面的三房室模型：,模型,3,infective,recovered,susceptible,k,l,由,(1),式可得：,从而解得：,积分得：,（,3.19,）,不难验证，当,t,+,时，,r,(,t,),趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。,为揭示产生上述现象的原因（,3.18,）中的第（,1,）式改写成：,其中 通常是一个与疾病种类有关的,较大的常数。,下面对,进行讨论，请参见右图,如果 ，,则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。,如果 ，则开始时 ，,i,(,t,),单增。但在,i,(,t,),增加的同时，,伴随地有,s,(,t,),单减。当,s,(,t,),减少到小于等于 时，,i,(,t,),开始减小，直至此疾病在该地区消失。,鉴于在本模型中的作用， 被医生们称为此疾病在该地区的阀值。 的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。,图,3-14,综上所述，模型,3,指出了传染病的以下特征：,（,1,）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。,（,2,）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。,（,3,）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,模型检验：,医疗机构一般依据,r,(,t,),来统计疾病的波及人数 ，从广义上理解，,r,(,t,),为,t,时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。,及：,注意到：,可得,：,（,3.20,）,通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：,代入（,3.20,）得近似方程：,积分得：,其中：,这里双曲正切函数,：,而：,对,r,(,t,),求导,：,（,3.21,）,曲线,在医学上被称为疾病传染曲线。,图,3-14,给出了（,3.21,）,式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。,图,3-14,（,a,）,3.6,糖尿病的诊断,糖尿病是一种新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引起的新陈代谢紊乱造成的。糖尿病的诊断是通过葡萄糖容量测试（,GTT,）来检查的，较严重的糖尿病医生不难发现，较为困难的是轻微糖尿病的诊断。轻微糖尿病诊断时的主要困难在于医生们对葡萄糖容许剂量的标准看法不一。例如，美国罗得岛的一位内科医生看了一份,GTT,测试的报告后认为病人患有糖尿病，而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为进一步诊断，这份检测报告被送到波士顿，当地专家看了报告后则认为此人患有垂体肿瘤。,二十世纪,60,年代中期，北爱尔兰马由医院的医生,Rosevear,和,Molnar,以及美国明尼苏达大学的,Ackeman,和,Gatewood,博士研究了血糖循环系统，建立了一个简单的数学模型，为轻微糖尿病的诊断提供了较为可靠的依据。,模型假设,根据生物、医学等原理，作如下假设：,(1),葡萄糖是所有细胞和组织的能量来源，在新陈代谢,中起着十分重要的作用。每个人都有自己最适当的,血糖浓度，当体内的血糖浓度过渡偏离这一浓度,时，将导致疾病甚至死亡。,(2),血糖浓度是处于一个自我调节系统之中的，它受到,生理激素和其他代谢物的影响和控制，这些代谢物,包括胰岛素、高血糖素、肾上腺素、糖皮质激素、,生长激素、甲状腺素等，统称为内分泌激素。,(3),内分泌激素中对血糖起主要影响的是胰岛素，葡萄,糖只有在胰岛素的作用下才能在细胞内进行大量的,生化反应，降低血糖浓度。此外，高血糖素能将体,内过量的糖转化为糖元储存于肝脏中，从而降低血,糖的浓度。,模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人（测量若干次），根据上述假设，建模时将研究对象集中于两个浓度：葡萄糖浓度和激素浓度。,以,G,表示血糖浓度，以,H,表示内分泌激素的浓度。根据上述假设血糖浓度的变化规律依赖于体内现有的血糖浓度及内分泌激素的浓度，记这一依赖关系为函 数,F (G , H),。而内分泌激素浓度的变化规律同样依赖于体内现有的血糖 浓度以及内分泌激素的浓度，记其依赖关系为函 数,F ( G , H ),，故有：,=,( G , H ) + J (t),=,( G , H ),（,3.19,）,其中,J (t),为被检测者在开始检测后服下的一定数量的葡萄糖。,病人在检测前必须禁食，故可设检测前病人血糖浓度及内分泌激素的浓度均已处于平衡状态,即可令,t = 0,时,G = G,0, H = H,0,且,F,1,( G,0,H,0,) = 0,F,2,( G,0,H,0,) = 0,从而有,在测试过程中,G , H,均为变量，而我们关心的却只是它们的改变量，故令,g = G, G,0,h = H H,0,在（,3.19,）中将 展开，得到,其中 、 是,g,和,h,的高阶无穷小量。,很小时（即检测者至多为轻微病人时），为求解方,便，我们考察不包含它们的近似方程组,方程组（,3.20,）是一个非线性方程组，较难求解。当,、,首先，我们来确定右端各项的符号。从图 中可看出，当,J(t,)=0,时,若,g,0,且,h = 0,，则此人血糖浓度高于正常值，内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖，并将其存储进肝,脏，此时有,0,，从而应有：, 0,其激素浓度将增加以抑制血糖浓度的增高，因而又有：,:,0,反之，当,J(t,)=0,而,g=0,且,h,0,时，此人激素浓度高于正常值，血糖浓度及激素浓度均将减少，从而必有,将方程组（,3.20,）改写成,其中 均为正常数。,（,3.21,）是关于,g,、,h,的一阶常系数微分方程组，因激素浓度不易测得，对前式再次求导化为：,由于,故,或,( 3.22 ),令,则,( 3.22 ),可简写成,( 3.23 ),其中,设在,t = 0,时患者开始被测试，他需在很短时间内喝下一定数量,的外加葡萄糖水，如忽略这一小段时间，此后方程可写成,( 3.24 ),（注：要考虑这一小段时间的影响可利 用,Dirac,的,函数）,( 3.24 ),式具有正系数，且 当,t,趋于无穷时,g,趋于,0,，（体内的葡萄,糖浓度将逐渐趋于平衡值），不难证 明,G,将趋于,g,（,t,）,的解有三种形式，取决于,的符号。,0,时可得,(1),当,其中,，所以,(3.25),( 3.25 ),式中含有,5,个参数，即 、,A,、,、 和,，用下述方法可以确定它们的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖浓度应为 （检查前患者是禁食的）,可先作一次测试将其测得。,进而，取,t,= (,i,= 1,、,2,、,3,、,4),各测一次，将测得的值代入（,3.25,），得到一个方程组，由此可解得相应的参数值。一般，为了使测得的结果更准确，可略多测几次，如 测,5-6,次，再根据最小平方误差来求参数，即求解,min,解出所需的参数,当,0,时可类似加以讨论。,实际计算时不难发现，,G,的微小误差会引 起,的很大偏差，故任一包含,的诊断标准都将是不可靠的。同时也可发 现,G,对,并不十分敏感（计算结果与实际值相差较小），故可用 的测试结果作为,GTT,检测值来判断此人是否真的患有轻微的糖尿病。为了判断上的方便，一般利用所谓自然周 期,T,作为判别标准,根据人们的生活习惯，两餐之间的间隔时间大体 为,4,小时。临床应用显示， 在,T,4,（ 小时 ）时一般表示为正常情况，当,T,明显大于,4,小时时一般表示此人的确患有轻微的糖尿病。,由于内分泌激素浓度不易测量，在上面的建模过程中对各种不同激素未加以一一区别，即对其采用了集中参数法。这样做虽大大简化了模型，但也在一定程度上影响了模型的应用效果。临床应用时发现，在患者饮下葡萄糖水大 约,3-5,小时后，测得的数据有一定的偏差，其原因可能是内分泌激素的作用造成的，因而，要得到更精确的结果，当然要考虑到内分泌激素浓度的变化，建立更精确的模型。罗德岛医院已找到一种测量内分泌浓度的方法，相信在此基础上一定可以设计出诊断轻微糖尿病的更好方法。,3.7,稳定性问题,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。,一般的微分方程或微分方程组可以写成：,定义,称微分方程或微分方程组,为自治系统或动力系统,。,（,3.28,）,若方程或方程组,f,(,x,)=0,有解,X,o,，,X=X,o,显然满足（,3.28,）。,称点,X,o,为微分方程或微分方程组（,3.28),的平衡点或奇点。,例,7,本章第,2,节中的,Logistic,模型,共有两个平衡点：,N,=0,和,N,=,K,，,分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为,N,o,=0,时的解而后者为,N,o,=,K,时的解。,当,N,o,K,时，则位于,N,=,K,的上方。从图,3,-,17,中不难看出，若,N,o,0,，,积分曲线在,N,轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于,K,。,这说明，平衡点,N,=0,和,N,=,K,有着极大的区别。,图,3-17,定义,1,自治系统 的相空间是指以（,x,1,x,n,）,为坐标,的空间,R,n,。,特别，当,n,=2,时，称相空间为相平面。,空间,R,n,的点集,(,x,1,x,n,)|,x,i,=,x,i,(,t,),满足,(3.28),，,i,=1,n,称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,定义,2,设,x,0,是（,3.28,）的平衡点，称：,（,1,）,x,0,是稳定的，如果对于任意的,0,，,存在一个,0,，,只要,|,x,(0)-,x,0,|,，,就有,|,x,(,t,)-,x,0,|,对所有的,t,都成立。,（,2,）,x,0,是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。,微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。,（,3,）,x,0,是不稳定的，如果（,1,）不成立。,根据这一定义，,Logistic,方程的平衡点,N=K,是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点,N=0,则是不稳定的。,解析方法,定理,1,设,x,o,是微分方程 的平衡点：,若,则,x,o,是渐近稳定的,若,则,x,o,是渐近不稳定的,证,由泰勒公式，当,x,与,x,o,充分接近时，有：,由于,x,o,是平衡点，故,f,(,x,o,)=0,。,若 ，则当,x,0,，,从而,x,单增；当,x,x,o,时，又有,f,(,x,)0,，可能出现以下情形：, 若,q,0,，,1,2,0,。,当,p,0,时，,零点不稳定；,当,p,0,时，零点稳定,若,q,0,，,1,2,0,时，零点不 稳定,当,p,0,时，零点稳定,（,2,） ,0,，,零点稳定,若,a,=0,，,有零点为中心的周期解,综上所述：仅当,p,0,时， （,3.30,）零点才是渐近稳定的；当,p,=0,且,q,0,时（,3.30,）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。,非线性方程组（,3.29,）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立,:,定理,2,若（,3.30,）的零点是渐近稳定的，则（,3.29,）的平衡点,也是渐近稳定的；若（,3.30,）的零点是不稳定的，则（,3.29,）,的平衡点也是不稳定的。,3.8,捕食系统的,Volterra,方程,问题背景：,意大利生物学家,D,Ancona,曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他