8.2二重积分的计算法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第八章 重积分,8.2,二重积分的计算法,8.2.1,利用直角坐标计算二重积分,当积分区域是,X,型区域时,当积分区域是,Y,型区域时,1,设,f,(,x,y,),在,D,上连续,X,型,o a b x,y,2,Y,型,D,y,o,x,d,c,3,解,积分区域如图所示：,应先积,x,，,后积,y,1,y,x,4,y,o,x,应先积,y,，,后积,x,评注,本例中两题不能交换积分次序，因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来,解,积分区域如图所示,5,例,5,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体体积,。,解,设这两个圆柱面的方程分别为,利用立体关于坐标平面的对称性,，,所围成的立体体积为,它在第一卦限部分,的体积,V,1,的,8,倍,x,2,+,y,2,=,R,2,及,x,2,+,z,2,=,R,2,y,o,x,D,x,y,R,R,z,o,6,所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为,它的顶是柱面,y,o,x,D,x,y,R,R,z,o,例,5,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体体积,。,x,2,+,y,2,=,R,2,及,x,2,+,z,2,=,R,2,7,y,o,x,D,x,y,R,R,z,o,例,5,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体体积,。,8,8.2.2,利用极坐标计算二重积分,有些二重积分,，,积分区域,D,的边界用极坐标方程来表示比较方便,，,且被积函数用极坐标变量,r,、,表达比较简单,。,这时,，,我们就可以利用极坐标计算二重积分,。,下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式,9,1,、,极坐标系下的二重积分的形式,假定,从极点,O,出发且穿过闭区域,D,内部的射线,与,D,的边界曲线相交不多于两点,我们用,(2),从极点出发的一族射线,：,=,常数,，,把,D,分成,n,个小区域,（,如上图,）,(1),以极点为中心的一族同心圆,：,r,=,常数,，,10,除了包含边界点的一些小闭区域外,，,小闭区域的面积,i,：,11,12,13,2,、,如何化为两次单积分,积分顺序,：,一般是先积,r,后积,定限的方法,：,依,D,的特点：,O,x,D,O,x,D,14,O,x,D,O,x,D,15,O,x,D,16,o,x,D,17,闭区域,D,的面积,可以表示为,利用极坐标计算二重积分,18,19,1,2,20,(1),21,22,23,小结：利用极坐标计算二重积分,(1),积分顺序通常是先,r,后,(2),D,的极坐标表示,如,D,的边界是由直角坐标方程,:,y,=,f,(,x,),给出，通常可从几何意义去确定,D,的极坐标表示（,图形是重要的,）或利用,x,=,r,cos,，,y,=,r,sin,进行变换。,24,解,积分区域,D,的图形,D,：,0,r,a,0,2,25,O,x,y,S,R,D,1,D,2,26,D,1,O,x,y,R,D,2,S,D,1,27,R,O,x,y,S,D,1,D,2,D,1,O,x,y,R,28,29,例,4,求球体,x,2,+,y,2,+,z,2,=4,a,2,被圆柱,x,2,+,y,2,=2,ax,(,a,0),所截得的,（,含在圆柱面内的部分,）,立体的体积,。,D,y,x,o,2,a,x,y,o,D,30,31,32,定理,8.2.1,设函数,f,(,x,y,),在有界闭区域,D,上连续,公式（,5,）称为二重积分的换元公式,8.2.3,二重积分的换元法,33,上式右端是在,D,1,上确定积分限,34,此变换称为,广义极坐标变换,，在此变换下与区域,D,对应的区域,D,1,为,35,36,利用广义极坐标变换可得椭圆,37,38,解,由,被积函数,的对称性，可只考虑第一象限部分,39,40,故所求面积,41,42,43,利用极坐标计算二重积分,O,x,D,44,