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23.4,三角形的中位线,如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的,形状大小相同,，请设计合理的解决方案。,新课导入,温馨提示,连结三角形两边中点的线段叫,三角形的中位线,三角形有,三,条中位线,三角形的,中位线,和三角形的,中线,不同,E,D,F,A,C,B,你还能画出几条三角形的中位线？,（,1,）,相同之处,都和,边的,中点,有关；,（,2,）不同之处,：,三角形中位线,的,两个端点,都是,边的中点,；,三角形中线,只有,一个端点,是,边的中点，,另一端点是三角形的顶点。,C,B,A,E,D,概念对比,C,B,A,D,中线,DC,中位线,DE,DE,和边,BC,关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,DE=BC.,A,B,C,D,E,问题,1:ABC,中,若,D,是,AB,的中点时,E,也是,AC,的中点,则,DE,与,BC,存在何种关系,?,小组讨论,想一想,如图：在,ABC,中，,D,是,AB,的中点，,E,是,AC,的中点,.,则有：,DEBC,DE=BC.,2,1,E,A,B,C,D,说一说,E,A,B,C,D,F,解题分析,2:,延长,DE,到,F,使,EF=DE,连接,CF,易证,ADECFE,，,得,CF=AD,CF/AB,又可得,CF=BD,CF/BD,所以四边形,BCFD,是平行四边形,则有,DE/BC,DE=DF=BC,解题分析,3.,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,F,证明：延长,DE,到,F,使,EF=DE,连接,FC,、,DC,、,AF,四边形,ADCF,是平行四边形,四边形,DBCF,是平行四边形,AE=EC,CF,DA,，,CF=DA,CF,BD,，,CF=BD,DF,BC,，,DF=BC,又,DE=DF,DE,BC,且,DE=BC,三角形中位线定理,三角形的中位线,平行,且,等于,第三边的一半,.,几何语言,：,DE,是,ABC,的中位线（或,AD=BD,AE=CE),C,E,D,B,A,证明,平行,问题,证明一条线段是另一条线段的,两倍,或,一半,用 途,A,C,B,E,D,F,练习,1.,如图，在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,的中点,若,ADE=65,，则,B=,度，为什么？,若,BC=8cm,，则,DE=,cm,，为什么？,65,4,若,AC=4cm,BC=6cm,，,AB=8cm,，,则,DEF,的周长,=_,9cm,若,ABC,的周长为,24,，,DEF,的周长是,_,12,1,、三角形三条中位线围成的三角形的,周长,与原三角形的,周长,有什么关系？,探究活动,2,、三角形三条中位线围成的三角形的,面积,与原三角形的,面积,有什么关系？,图中有,_,个平行四边形,若,ABC,的面积为,24,，,DEF,的面积是,_,3,6,设 计 方 案：,F,（中点）,(,中点,)D,E(,中点,),A,B,C,例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线,互相平分,.,已知：,ABC,中,AD=DB,，,BE=EC,，,AF=FC.,求证：,AE,与,DF,互相平分,.,F,A,B,C,D,E,证明,:,连接,DE,、,EF,，因为,AD=DB,，,BE=EC,，,所以,DE AC,（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）。,同理,EF AB,。,所以四边形,ADEF,是平行四边形。,因此,AE,、,DF,互相平分。（平行四边形的对角线互相平分）,定理应用,已知,:,如图,A,B,两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测出了,A,B,两地之间的距离,:,先在,AB,外选一点,C,然后步测出,AC,BC,的中点,M,N,并测出,MN,的长,由此他就知道了,A,B,间的距离,.,你能说出其中的道理吗,?,C,M,B,A,N,其中的道理是,:,连结,A,、,B,MN,是,ABC,的的中位线,AB=2MN.,中位线定理应用,已知：在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,P,是对角线,BD,的中点，,M,是,DC,的中点，,N,是,AB,的中点求证,1,2,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点,.,猜想四边形,EFGH,的形状并证明。,A,B,C,D,E,F,G,H,E,，,F,是,AB,，,BC,的中点，你联想到什么？,要使,EF,成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？,证明：如图，连接,AC,EF,是,ABC,的中位线,同理得：,四边形,EFGH,是平行四边形,典例示范,答：四边形,EFGH,为平行四边形。,巩固练习,1.,如图，点,D,、,E,、,F,分别是,ABC,的边,AB,、,BC,、,CA,的中点，以这些点为顶点，你能在,图中画出多少个平行四边形？,B,A,F,E,D,C,2.,如图，,A,、,B,两点被池塘隔开，在,AB,外选一点,C,，连接,AC,和,BC,，怎样测出,A,、,B,两点的实际距离？根据是什么？,A,B,C,课堂检测,:,1.,如图,在,ABC,中,BCAC,点,D,在,BC,边上,且,DC=AC,ACB,的平分线,CF,交,AD,于,F,点,E,是,AB,的中点,连接,EF,求证,:EF,是,ABD,的中位线,.,如图，,l,1,/l,2,，,线段,AB/CD/EF,且点,A,、,C,、,E,在,l,1,上，,B,、,D,、,F,在,l,2,上，则,AB,、,CD,、,EF,的长短相等吗？为什么？,l,1,l,2,E,F,C,D,A,B,猜 一 猜,夹在两平行线间的平行线段相等。,2.,如图,在四边形,ABCD,中,AB,CD,且,CD,等于,AB,的一半。,E,是,BC,的中点,DE,交,AC,于点,F,求证,:DE,被,AC,平分,.,l,1,l,2,E,F,C,D,A,B,如图，,l,1,/l,2,，,点,A,、,C,、,E,在,l,1,上，,线段,AB,、,CD,、,EF,都垂直与,l,2,，垂足分别为,B,、,D,、,F,，则,AB,、,CD,、,EF,的长短相等吗？为什么？,一条,直线上的任一点,到,另一条直线的距离,，叫做这,两条平行线间的距离,。,平行线间的距离处处相等,它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别,如图，在平行四边形,ABCD,的一组对边,AD,、,BC,上截取,EF,MN,，连接,EM,、,FN,，,EM,和,FN,有怎样的关系？为什么？,巩固练习,A,B,C,D,E,F,M,N,小结,1,、,三角形中位线的定义,2,、,三角形中位线定理,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半,3,、两条平行线间的距离,一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离,平行线间的距离处处相等,
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