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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 函数的连续性,2.1,集合的映射,一 、映射定义,1.,定义,2.,两要素,3.,常用术语,定义域，值域,二、映射的分类,相等,满射,单射,一一对应,恒等映射,甲,乙,丙,一一对应（单射且满射）,甲,乙,丙,g,三、逆映射与复合映射,逆映射,复合映射,复合映射的运算规律,结合律,?,交换律,?,可逆映射与恒等映射的关系,2.2,集合的势,“,有相同的势,”,一、,等价关系满足,自反性：,对称性：,传递性：,利用等价关系可以对集合进行分类,“,等价类,”,“,势是一种相同的特征,”,.,二、数集的分类,有限集,对于两个有限集,A,和,B,，,A,与,B,有相等的势的充分必要条件是他们的元素个数相同,.,而对于无限集，我们通过一一对应映射来判断势是否相等,.,例,1,：,设,A,是整数的集合，则,A,是可数的,.,证明：把,A,排列成：,0,1,-1,2,-2,3,-3,考虑从 到,A,的一个一一映射：,例,2,：,证明,(0,1),与,0,1,有相同的势,.,证明：考虑从,0,1,到,(0,1),的一个一一映射：,在例,1,和例,2,中，,A,和,0,1,这两个无限集都与他们的真子集有相同的势,.,而对于有限集，由于“元素的个数相同”，这是不 可能的。,三、势的常识,定理,2.1,：可数集,A,的任意无限子集是可数集,.,证明：,设,E,是,A,任一无限子集,. A,是可数的，因此可以将,A,排列成,按照如下方式构造数列 ：令 是最小的正整数使得,.,当 选定之后，令 是大于 的最小正整数使得,.,这样，便得到一个映射,.,具体地，,定理,2.2,：,-,至多可数集列,则,(,可数集的可列并是可数集,),证明：设对于 ，,考虑如下的无穷陈列：,这个陈列包含,S,中的所有元素,.,按照箭头所指示的那样，这些元素可以拍成一行：,显然，这一行的元素至多可数个,.,当两个集合 和 有公共的元素时，对那些重复的元素只保留第一次遇到的那一个，剔除其他相同的元素，仍然得到并集,S.,由此可知，,S,至多可数,.,证明：先证明,0,1),中全体有理数是可数的,.,显然，下面的排列：,穷尽了,0,1),中的有理数,.,把上述数从左到右重新排列成一行：,定理,2.3,： 中全体有理数是可数的,.,然后剔除重复的数，得到的可数集就是,0,1),中的有理数的全体,.,很显然，当有理数 ，对任意整数,n,，映射 是,0,1),中的有理数同,n,n+1),中的有理数之间的一一对应，因此,n,n+1),中的全体有理数也是可数的,.,由于,R,中有理数可以表示成,依定理,2.2,，,R,中全体有理数是可数的,.,定理,2.4,：,0,，,1,上的全体实数是不可数的,证明：,反证法,“,用,Cantor,三分法,+,闭区间套定理,”,另证：反证法,.,若,0,1,上实数可数，则,0,1),上实数也可数,.,将,0,1),排成,把 写成,10,进制小数的形式：,考虑 其中,显然,作业,习题,2.1,1,；,2,；,3.,
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