第六章多维流动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,流体力学电子教案,第六章 不可压缩流体的多维流动,流体力学,1,6-1,流体,微团运动分析,6-2,有旋流动,6-3,不可压缩流体连续性微分方程,第六章 不可压缩流体的多维流动,6-4,无旋流动,2,流体由于具有易流动特性，因此流体的运动要比刚体的运动复杂得多。在流体运动中，,有旋流动,和,无旋流动,是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。,实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡等等。工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。,3,6-1,流体微团运动分析,刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。,流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为,移动、转动和变形运动,三部分。,4,一、表示流体微团运动特征的速度表达式,在运动流体中，在时刻,t,任取一正方形流体微团，其边长分别为,d,x,、,d,y,，设,O,点的速度分量分别为,u,x,、,u,y,、其他各点的速度均可利用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到：,5,由速度表达式可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同引起的速度增量两个组成部分。,把中心点的速度,u,x,和,u,y,定义为流体微团的,平移速度。,由于微团上的,A,点和,C,点,x,方向有速度差，一段时间后沿,x,方向发生变形。,单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。线变形速度用 ，表示：,扩展到空间,1.,线变形,6,2.,角变形,由于微团上的,A,点和,C,点,y,方向有速度差 ，一段时间后微团沿,y,方向发生变形。所以,AOC,直线绕,O,点发生旋转,。,同样,，,BD,直线也绕,O,点旋转。但旋转角度不同。,由,A,点,C,点,y,方向的速度表达式,AOC,的旋转角速度为：,BOD,的旋转角速度为：,角速度方向规定逆时针为正。,7,由于过,O,点的直线的旋转角速度不相等，最终正方形流体微团变为菱形。,整个变形过程可以分为两部分：,1.,流体微团绕,O,点以等角速度转动；,2.,由于各直线角速度不等产生角变形运动。,把对角线,EOF,的旋转角速度定义为整个流体微团在,xoy,面的旋转角速度，用 表示。,EOF,的旋转角速度可看成是,AOC,和,BOD,角速度的平均,：,扩展到三维流动,角速度矢量为,8,把,AOC,与,EOF,的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度，记为 ：,扩展到三维流动,一般情况下，流体微团的运动由以上四种情况组合而成，已知任意点,M,0,的速度分量，,u,x0,，,u,y0,，,u,z0,，流体微团内任意点的速度可写为：,9,将速度分量展开,10,流体微团的运动可分解为三部分：,以流体微团中某点的速度作整体平移运动；,绕通过该点轴的旋转运动；,微团本身的变形运动（线变形和角变形）。,11,例,1,已知流速分布,u,x,=-ky,u,y,=kx,u,z,=0,。求旋转角速度、线变形速度和角变形速度。,解：,所以,线变形速度,角变形速度,12,6-2,有旋流动,一、有旋流动和无旋流动的定义,流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。,流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。,如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线旋转，则称为无旋流动。,这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。,13,如图,（,a,）,所示，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；,在图,(,b,),中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。,流体微团运动,无旋流动,有旋流动,a,b,14,判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足,则有,由于,15,6-3,不可压缩流体连续性微分方程,和一元流连续性方程相似，在流场中选取边长为,dx,、,dy,、,dz,正六面微元控制体。,dx,dy,dz,设控制体中心的坐标为,x,、,y,、,z,，中心点的速度为,u,x,、,u,y,、,u,z,。,左侧中心点沿,x,方向的流速为：,右侧中心点沿,x,方向的流速为：,dt,时间内沿,x,方向流入和流出的净体积流量为：,16,同理,dt,时间内沿,y,方向流入和流出的净体积流量为：,dt时间内沿,z,方向流入和流出的净体积流量为：,对于不可压缩流体，,dt,时间内流入和流出微元控制体的净体积流量之和应为,0,。,多维流动的不可压缩流体的连续性方程。对于定常和非定常流动都适用。,17,6-4,无旋流动,在流场中流体微团的旋转角速度,在任意时刻处处为零的流动称为,无旋流动,，无旋流动也称为有势流动。,根据数学分析可知：上式成立是,成为某一函数,的全微分的充要条件。,称为速度势函数，简称速度势。,1,、空间问题,一、速度势函数,18,此时，速度势函数与速度的关系：,根据全微分理论，势函数 的全微分可写成,于是得,流体不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。,19,把速度势函数代入到不可压缩流体的连续性方程,其中,同理,所以,上式称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。所以不可压缩流体的速度势函数是一个调和函数。,20,2,、平面问题,在不可压缩流体平面流动中，连续性方程为：,旋转角速度也只有,z,分量，如果,z,为零，即：,平面流动为无旋流动。,平面无旋流动的速度势函数为：,平面无旋流动的拉普拉斯方程：,21,【,例,2,】,有一不可压流体平面流动的速度分布为,该平面流动是否满足连续性方程；,是否存在速度势函数,?,若存在，求出其表达式。,【,解,】,（,1,）由不可压流体平面流动的连续性方程,该流动满足连续性方程。,（,2,）由于是平面流动,该流动为无旋流动，存在速度势函数。,22,由速度势函数的全微分得：,积分,23,第六章结束,24,