1-4全概率公式与贝叶斯公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回 上页 下页 结束,1.4,全概率公式与贝叶斯公式,一,.,全概率公式,二,.,贝叶斯公式,1,一、全概率公式,样本空间,划分,的定义：设,S,为试验,E,的样本空,间，,B,1,B,2,，,B,n,为,E,的一组事件,.,若,B,i,B,j,=,i,j,i,j,=1,2,n,;,B,1,B,2,B,n,=,S,则称,B,1,B,2,B,n,为样本空间,S,的一个划分,.,全概率公式,：设试验,E,的样本空间为,S,A,为,E,的事件，,B,1,B,2,，,B,n,为,S,的一个划分，且,P,(,B,i,)0,(,i,=1,2,n,),则,2,3,证明 因为事件,B,1,B,2,，,B,n,为样本,空间的一个划分，即,B,i,两两互不相,容，,P,(,B,i,)0(,i,=1,2,n,),，而且,B,1,B,2,B,n,=,S.,于是有,AB,1,AB,2,AB,n,=,A.,其中,AB,i,也是两两互不相容,.,B,1,A,B,5,B,4,B,3,B,2,由概率的可列可加性,P,(,A,)=,P,(,AB,1,)+,P,(,AB,2,)+,P,(,AB,n,).,利用乘法定理即得,例,1,4,考卷中一道选择题有,4,个答案，仅有一,个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道,而乱猜是等可能的,.,如果这个学生答对了，求它,确实知道正确答案的概率,.,解 样本空间可以划分为事件,A,:,知道正确答案与,:,不知道,.,以,B,表示事件,:,学生答对，则,A,B,，,P,(,AB,),P,(,A,),1,2.,P,(,B,A,)=1,，而,P,(,B,),1,4.,由全概率公式,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,A,)+,P,()P(B )=5,8,，,故,P,(,A,B,),P,(,AB,),P,(,B,),4,5,二,.,贝叶斯公式,5,设试验,E,的样本空间为,S,.,A,为,E,的事件，,B,1,B,2,，,B,n,为,S,的一个划分，且,P,(,A,)0,P,(,B,i,)0,i,=1,2,n,，则,上式称为,贝叶斯,(Bayes),公式,.,6,贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用,.,全概率公式,用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式,.,贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方,面的应用,.,假定,B,1,B,2,B,是导致试验结果的,“原因”，,P,(,B,i,),称为,先验概率,，它反映了各种,“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总,结，在这次试验前已经知道,.,现在若试验产生了,事件,A,这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”,.,7,条件概率,P,(,B,i,A,),称为,后验概率,，它反映了,试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知,识,.,例如在医疗诊断中，为了诊断病人到底是患,了毛病,B,1,B,2,B,n,中的哪一种，对病人进行观察,与检查，确定了某个指标,A,(,譬如是体温、脉搏血,液中转氨酶含量等等,),，医生想用这类指标来帮助,诊断,.,这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率,.,首先必须确定先验概率,P,(,B,i,),，这实际上是确定人,8,患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以,给出一些初步数据；其次是要确定,P(,A,B,i,),，这,里当然主要依靠医学知识,.,有了它们，利用贝叶,斯公式就可算出,P,(,B,i,A,),，显然，对应于较大,P,(,B,i,A,),的“病因”,B,i,，应多加考虑,.,在实际工作中，检查的指标,A,一般有多个，,综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助,.,在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方,法是有实用价值的,.,先验概率是指根据以往经验和分析得到的概,率，如全概率公式 中的,P,(,B,i,),，它往往作为“由因求果”问题中的“因”,出现,.,后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修,正的概率，如贝叶斯公式,P,(,B,i,A,),P,(,A,B,i,),P,(,B,i,)/,P,(,A,),中的,P,(,B,i,A,),，是“执果寻因”问题中的“因”,.,先验概率与后验概率有不可分割的联系，后,验概率的计算要以先验概率为基础,.,9,例,2,10,某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,.,根据以往的记录有以下的数据：,元件制造厂 次品率 提供元件的份额,1 0,02 0,15,2 0,01 0,80,3 0,03 0,05,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志,.(1),在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；,(2),在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少,?,试求这些概率,.,11,解 设,A,表示“取到的是一只次品”，,B,i,(,i,l,2,3),表示“所取到的产品是由第,i,家工厂提供的”,.,易,知，,B,l,，,B,2,，,B,3,是样本空间,S,的一个划分，且有,P,(,B,1,)=0.15,，,P,(,B,2,)=0.80,，,P,(,B,3,),0.05,，,P,(,A,B,1,)=0.02,，,P,(,A,B,2,)=0.01,，,P,(,A,B,3,)=0.03.,由全概率公式,P,(A)=,P,(,A,B,1,),P,(B,1,)+,P,(,A,B,2,),P,(,B,2,),+,P,(,A,B,3,),P,(,B,3,)=0.0125.,12,以上结果表明，这只次品来自第,2,家工厂的可,能性最大,.,由贝叶斯公式,例,3,13,根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验,具有如下的效果：若以,A,表示事件“试验反应为阳,性”，以,C,表示事件“被诊断者患有癌症”，则有,P,(,A,C,),0.95,，,P(),0.95.,现在对自然人群,进行普查，设被试验的人患有癌症的概率,0.005,，,即,P,(,C,),0.005,，试求,P,(,C,A,).,解 已知,P,(,A,C,),0.95,，,P,(,A,),1,一,P,(),0.05,，,P,(,C,)=0.005,，,P,(),0,995,，由贝叶斯公式,例,4,14,对以往数据分析结果表明，当机器调整得良,好时，产品的合格率为,98,，而当机器发生某种,故障时，其合格率为,55,.,每天早上机器开动时，,机器调整良好的概率为,95,.,试求已知某日早上,第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率,是多少,?,解 设,A,为事件“产品合格”，,B,为事件“机器调整良好”,.,已知,P,(,A,B,),0.98,，,P,(,A,),0.55,，,P,(,B,),0.95,，,P(),0.05,，由贝叶斯公式得,15,当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整,良好的概率为,0.97.,这里，概率,0.95,是由以往的,数据分析得到的，是先验概率,.,而在得到信息,(,即,生产出的第一件产品是合格品,),之后再重新加以修,正的概率,(,即,0.97),是后验概率,.,有了后验概率就能,对机器的情况有进一步的了解,.,