第六章 测量误差的基本理论

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.1 概述,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.2 衡量精度的指标,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.3 误差传播定律,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.4 算术平均值及其中误差,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.5 权及加权平均值,凌 晴,兰州理工大学土木学院,第六章 测量误差的基本理论,工程测量,6.1 概述,前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器,(,经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。 例如：,1,）、距离测量误差,2,）、角度测量误差,3,）、高差测量误差,A,B,D,往,D,返,理论上：,D,往,=,D,返,实测中：,D,往,D,返,1）距离测量误差,测量上一般要求:,D,往,-,D,返,/D=1/K,(,K=2000,4000,.), 测量成果才合格.,6.1 概述,A,B,C,理论上：A+B+C=180,实测中：A+B+C180,理论上：L1+L2+L3+L4 =360,实测中： L1+L2+L3+L4 360,L2,L3,L4,A,B,C,D,L1,2）角度测量误差,6.1 概述,理论上,： h,AB,+h,BA,= 0,实测中,： h,AB,+h,BA,0,P1,P4,P3,P2,h1,A,h3,h2,3）高差测量误差,B,h4,理,论上,：,h1+h2+h3+h4 =0,实测中,：,h1+h2+h3+h4,0,6.1 概述,一、测量误差的概念,人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为,测量误差。,二、测量误差及其来源,1.,真值和真误差,真值：,反映一个量真正大小绝对准确的数值,真误差：,观测值与真值之差，即：真误差,=,观测值,-,真值,约定符号：,X,真值,L,观测值,真误差,二、测量误差及其来源,1.,真值和真误差,2,.,测量误差的反映,（,如何发现）,测量误差是通过“,多余观测,”产生的差异反映出来的。,3.,测量误差产生,的来源,（,1,）测量仪器,：,仪器精度的局限、轴系残余误差等。,（,2,）观测者,：,判断力和分辨率的限制、经验等。,（,3,）外界环境条件,：,温度变化、风、大气折光等。,二、观测与观测值的分类,1同精度观测和不同精度观测,在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为,同精度观测值,或等,精度观测值,。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值,。,2,直接观测和间接观测,为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为,直接观测,，观测值称为,直接观测值。,通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为,间接观测,，观测值称为,间接观测值。,二、观测与观测值的分类,3独立观测和非独立观测,各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为,独立观测,，观测值称为,独立观测值,。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为,非独立观测,，观测值称为,非独立观测值,。,四、测量误差的分类,按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为,粗差,、,系统误差和偶然误差,。,1,、粗差,定义：,由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错,措施：,（,1,）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。,（,2,）闭合差检验，剔除孤值。,（,3,）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。,注意：在本门课程中，要求粗差消灭在平差前，今后我们一般认为，待平差的观测值无粗差！,四、测量误差的分类,2,、系统误差,在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。,例： 误差 处理方法,钢尺尺长误差,ld,计算改正,钢尺温度误差,lt,计算改正,水准仪视准轴误差,I,操作时抵消,(,前后视等距,),经纬仪视准轴误差,C,操作时抵消,(,盘左盘右取平均,), ,系统误差可以消除或减弱。,(,计算改正、观测方法、仪器检校,),四、测量误差的分类,3,、偶然误差,在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。,偶然误差是不可避免的。,W,W,W,W,W,W,W,W,W,W,W,W,W,W,例,：,测量上,817,个三角形闭合差统计,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,本例中三角形闭合差所具有的这三条特性在测量中具有普遍性。,这些闭合差数值上不会超出一定界限；,绝对值小的比绝对值大的闭合差个数要多；,绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。,误差的,区间,（,）,为负,为正,总数,个数,n,i,个数,n,i,0.000.50,0.501.00,1.001.50,1.502.00,2.002.50,2.503.00,3.003.50,3.50 ,121,90,78,51,39,15,9,0,123,104,75,55,27,20,10,0,244,194,153,106,66,35,19,0,和,403,414,817,817,个三角形闭合差统计表,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,1,）,界限性：,一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定的限值，或者说超出一定限值的偶然误差出现的概率为零。,偶然误差的四个特性：,2,）,聚中性：,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。,3,）,对称性：,绝对值相等的正负误差出现的概率相同。,4,）,补偿性：,在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,用频率直方图表示的偶然误差统计：,误差的,区间,（,）,为负,为正,总数,频率,=,n,i,/,n,个数,n,i,频率,=,n,i,/,n,个数,n,i,频率,=,n,i,/,n,0.000.50,0.501.00,1.001.50,1.502.00,2.002.50,2.503.00,3.003.50,3.50 ,121,90,78,51,39,15,9,0,0.15,0.11,0.10,0.06,0.05,0.02,0.01,0.00,123,104,75,55,27,20,10,0,0.15,0.13,0.09,0.07,0.03,0.02,0.01,0.00,244,194,153,106,66,35,19,0,0.30,0.24,0.19,0.13,0.08,0.04,0.02,0.00,和,403,0.50,414,0.50,817,1.00,误差的,区间,（,）,为负,为正,总数,个数,n,i,频率,个数,n,i,频率,0.000.50,0.501.00,1.001.50,1.502.00,2.002.50,2.503.00,3.003.50,3.50 ,121,90,78,51,39,15,9,0,0.15,0.11,0.10,0.06,0.05,0.02,0.01,0.00,0.30,0.22,0.20,0.12,0.10,0.04,0.02,0.00,123,104,75,55,27,20,10,0,0.15,0.13,0.09,0.07,0.03,0.02,0.01,0.00,0.30,0.26,0.18,0.14,0.06,0.04,0.02,0.00,244,194,153,106,66,35,19,0,和,403,0.50,414,0.50,817,误差的,区间,（,）,为负,为正,0.000.50,0.501.00,1.001.50,1.502.00,2.002.50,2.503.00,3.003.50,3.50 ,0.30,0.22,0.20,0.12,0.10,0.04,0.02,0.00,0.30,0.26,0.18,0.14,0.06,0.04,0.02,0.00,和,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0.1,0.2,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区,间的频率,n,i,/,n,，而所有条形的总面积等于1。,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于,y,轴。,各条形顶边中点连线经光滑后,的曲线形状，表现出偶然误差,的普遍规律。,用频率直方图表示的偶然误差统计：,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0.1,0.2,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,当观测次数,n,无限增多,(n),、误差区间,d,无限缩小,(,d,0),时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有,正态分布的特性,。,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0.1,0.2,正态分布：,正态分布的密度函数：,数学期望和方差：,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,正态分布的数字特征,数学期望：,位置特征。,方差：,离散特征,，,表示曲线的形状。,小，曲线顶点愈高，曲线陡峭，高瘦；,大，曲线顶点愈低，曲线扁平，矮胖。,今后，我们将正态分布作为研究偶然误差的数学工具。,五、偶然误差的特性及其概率密度函数,偶然误差处理方式,精密度,表示同一量各观测值之间的密集或离散的程度。,准确度,又称偏差，是指观测值的数学期望与其真值之差。它表征了观测结果系统误差大小的程度。,精确度,表示观测值与其真值的接近程度。,测量中的精度严格意义讲是指,精密度,，由于假定了观测值仅有偶然误差，观测值数学期望与真值相同，所以精度也是精确度。,二、中误差,某观测值真值,X,已知； 设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了,n,次观测，其观测值分别为 、 、 ，,n,个观测值的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以,一组独立的偶然真误差平方中数的平方根,作为评定该组每一个观测值精度的标准，即,m,称为中误差，,m,小精度高；,m,大精度低。,n,观测值个数,真误差,例,:,设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了,9,次观,测，分别求得其真误差为：,甲组：,乙组：,试比较这两组观测值的中误差。,二、中误差,说明乙组的观测精度比甲组高。,三、极限误差,1,、定义,2,、极限误差的表示方法,一定测量条件下，偶然误差的最大允许值,2,、极限误差的表示方法,绝对值大于,3,倍中误差的偶然误差出现的概率为,0.27%,绝对值大于,2,倍中误差的偶然误差出现的概率为,4.55%,三、极限误差,问题：,谁的精度高 ？,四、相对误差,(,相对中误差,),定义,:,说明：,误差值与相应观测结果之比。,一个量的中误差与相应观测值之比,相对中误差。,相对误差是个无名数，一般将其分子化成,1,，写成,1/,N,的形式,相对误差一般用于长度测量,真误差、中误差、极限误差称为绝对误差,四、相对误差,(,相对中误差,),平面三角形中，闭合差 是真误差，采用中误差公式，计算闭合差的中误差，即,如何计算测角中误差,m,？,一、误差传播定律,Question,：,?,一、误差传播定律,Question,：,在三角形,ABC,中，已测得两个角,A,、,B,及一条边,，则依 可计算,b,边。,已知上述三个观测量的精度，那么,如何估计边长,b,的精度,A,B,C,一、误差传播定律,定义：,独立观测值的中误差与观测值函数的中误差之间的关系式，称为,误差传播定律,。,如何由观测值精度评定观测值函数精度,一、误差传播定律,一般函数的中误差,设：,为独立观测值,设 有真误差 ，函数,也产生真误差,上式全微分：,(a),由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和,：,(b),一、误差传播定律,一般函数的中误差,令 的系数为 ，,(b),式为：,对,Z,观测,了,k,次，,有,k,个式,(c),一、误差传播定律,一般函数的中误差,(d),对,(,c,),式平方求和可以得到：,(e),对,K,个,(d),式取总和，然后再除以,K,得：,(f),一、误差传播定律,一般函数的中误差,由偶然误差的抵偿性知：,(f),一、误差传播定律,一般函数的中误差,(g),(6-10),上式为,一般函数的中误差公式,，也称为误差传播定律。,求观测值函数中误差的步骤：,1.,列出函数式；,2.,对函数式求全微分；,3.,套用误差传播定律，写出中误差式。,一、误差传播定律,一般函数的中误差,中误差传播公式,一、误差传播定律,一般函数的中误差,函数名称,函数式,中误差传播公式,倍数函数,和差函数,线性函数,二、误差传播定律的应用,例,1,：在,1,：,500,地形图上量得某两点间的距离，其中误差 ，图上距离,d,=0.2345m,，求该两点间的地面水平距离,D,的值及其中误差。,解,:,二、误差传播定律的应用,解,:,例,2,：设对某一个三角形观测了其中,，两个角，测角中误差分别为 ，试求第三个角的中误差。,二、误差传播定律的应用,解,:,例,3,：试推导出算术平均值中误差的公式：,( ),一、算术平均值,设在相同的观测条件下，对某未知量进行了,n,次观测，得,n,个观测值,l,1,l,2,l,n,则该量的算术平均值为,x,：,一、算术平均值,证明：算术平均值为该量的最可靠值：,设该量的真值为,X,，则各观测值的真误差为：,当,观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；,当,观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最可靠值。,二、观测值改正数,未知量的,最可靠（最或是）值,x,与,观测值,l,i,之差称为,观测值改正数,v,i,，即,三、由观测值改正数计算观测值中误差,三、由观测值改正数计算观测值中误差,令,四、算术平均值中误差,算术平均值的中误差,Mx,，可由下式计算,:,一、权,定义,：,在计算不同精度观测值的最或然值时，精度高的观测值在其中占的,“比重”,大一些，而精度低的观测值在其中占的,“比重”,小一些。这里，这个,“比重”,就反映了观测的精度。“比重”可以用数值表示，在测量工作中，称这个数值为观测值的,“权”。,定义公式：,设以,P,i,表示观测值,l,i,的权，则权的定义公式为：,一、权,若,p,i,1,时，,称为,单位权中误差，,即,权为,1,的观测值中误差。,单位权所对应的观测值称为,单位权观测值,权与中误差的平方成,反比,，即精度愈高，权愈大,权的相对性,一、权,一、权,可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。,对于中误差为,m,i,的观测值（或观测值的函数），其权,Pi,为,:,则相应的中误差的另一表示式可写为:,一、权,二、权的性质,（,1,）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高；反之，中误差越大，权越小，表示观测值越不可靠，精度越低。,（,3,）同一组权中，只能选定一个单位权中误差，否则，就会破坏权之间的比例关系。,（,5,）中误差和权都是衡量精度高低的数值， 中误差是绝对数值，权是相对数值。对于单一观测值而言，权无意义。,（,4,）权的大小随 的不同而不同，但权之间的比例关系不变。,（,2,）权始终取正号。,三、测量中常用的确权方法,1,、同精度观测值算术中数的权,算术中数中误差平方,设一次观测权为,p,，算术中数权,算术中数的权是一次观测值权的,n,倍,三、测量中常用的确权方法,2权在水准测量中的应用,(,测站,),设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为,m,站,，则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为,：,取,C,个测站的高差中误差为单位权中误差，即：,则各水准路线的权为,当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观,测高,差的权与测站数成反比。,三、测量中常用的确权方法,2权在水准测量中的应用,(,距离,),设单位长度（一公里）的观测高差中误差为,m,，则长度为,L,公里的观测中误差为,取长度为,C,公里的,观测,中误差为单位权中误差，即,则得,距离为,L,的权为：,当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。,水准测量中,，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成,反比,水,准测量中,，当每公里高差中误差相同时，,则各,条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比,总结,三、测量中常用的确权方法,角,度测量中,，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比,距,离测量中,，当单位距离测量的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。,总结,三、测量中常用的确权方法,四、加权平均值及中误差,设对某未知量进行了,n,次不同精度观测，观测值为,L,1,、,L,2,、,L,n,，其中误差分别为,m,1,、,m,2,、,m,n,，,相应权为,P,1,、,P,2,、,P,n,。则加权平均值,x,为不等精度观测值的最可靠值,:,1,加权平均值,四、加权平均值及中误差,1,加权平均值,直接根据误差传播定律，可得,x,的中误差,展开：,四、加权平均值及中误差,2,加权平均值中误差,四、加权平均值及中误差,3.,单位权观测值中误差,用真误差代替中误差，得到在,已知观测量的真值,的情况下用真误差求单位权中误差的公式,四、加权平均值及中误差,3.,单位权观测值中误差,用真误差代替中误差，得到在,已知观测量真值,的情况下用真误差求单位权中误差的公式,在,未知观测量真值,的情况下，用加权平均值,x,代替真值,X,，用观测值的改正数,v,代替真误差,，得到用观测值的改正数计算单位权中误差的公式,五、权倒数传播定律,观测值,的权与,观测值函数,的权之间的函数关系,设有一般函数 ，其中,为独立观测量。设各观测值的中误差及权分别为,m,1,、,m,2,、,m,n,和,p,1,、,p,2,、,p,n,。由一般函数的中误差传播定律表达式可知，有：,五、权倒数传播定律,观测值,的权与,观测值函数,的权之间的函数关系,第六章 教学内容回顾,1.,概述,2.,衡量精度的指标,3.,算术平均值及其中误差,4.,误差传播定律,5.,权及加权平均值,谢谢！,