第12章时间序列模型

信,息,系,刘,康,泽,第,12,章,时间序列模型,主要内容,第一节 基本概念,第二节 自回归过程,第三节 移动平均过程,第四节 自回归移动平均过程,例如线性回归模型中的随机误差项,u,1,，,u,2,，,，,u,n,可以看着是随机过程,，,u,-,1,，,u,0,，,u,1,，,，,u,t,，,的一个,样本,。,如果随机过程,u,t,的分布不随时间的改变而变化，并且,随机过程,：,依赖于参数时间,t,的,随机变量集合,y,t,称为随机过程。,称这一随机过程,u,t,为,白,噪音（,White noise,）。,第一节 基本概念,平稳随机过程：,如果随机过程,y,t,满足,只依赖于,y,t,和,y,t+k,之间的时期数,k,，,而与,t,无关。,平稳随机过程举例,自相关函数,：,对于随机过程,y,t,，,y,t,和,y,t+k,之间的自相关函数为,如果,y,t,为平稳随机过程,但是在实际计算时，只能计算,样本自相关函数,样本自相关函数举例,第二节 自回归过程（,AR,）,前面我们讨论过自回归模型,如果时间序列,y,t,有,其中为,u,t,白噪音，称上式为,p,阶自回归过程,AR,(,p,),。,白噪音,一 自回归过程的平稳条件,1,一阶自回归过程,只有当 时，,这表明 只与,k,有关。因此从上述分析得知,当 时，一阶自回归过程为平稳过程。,对于,p,阶自回归过程，也有类似的结论。,2,p,阶自回归过程,一阶自回归过程,AR,(1),的自相关函数为,二 自回归过程的自相关函数,对于,p,阶自回归过程,AR,(,p,),，,由于,当,k,=0,时，,用 除,1,的左右两边得,当自回归阶数,p,已知，可直接用,OLS,法估计参数,三 自回归过程的估计,1,自回归阶数,p,已知,如果自回归阶数,p,未知，最关键的就是确定,p,，,可根据自相关图和偏相关图来确定。,将,p,求出后，就可以直接利用,OLS,法估计参数。下面介绍偏相关系数检验法。,当样本的容量,n,很大时，样本偏相关系数近似地服从均值为零，方差为,1/n,的正态分布。因此偏相关系数检验法的步骤为：,2,自回归阶数,p,未知,检验方法,：,步骤,1,：计算出置信区间 ；,步骤,2,：计算出各阶样本偏相关系数 （可以由偏相关函数图得到）；,步骤,3,：考察 是否落在此区间内。如果 落在区间外，则说明 是显著的（即 ）；否则 是不显著的（即 ）。,【,注,】,上述置信区间是在置信度为,95%,下取得的。,第三节 移动平均过程（,MA,）,一 移动平均过程,如果,y,的模型描述为,白噪音,y,t,为两个白噪音的加权和，称上述过程为,一阶移动平均过程,MA,(1),。,更一般地,称为,q,阶移动平均过程,MA,(,q,),。,二 移动平均阶数的确定,1,自相关函数,对于一阶移动平均过程,MA(,1),由于,u,t,为白噪音,因此自相关函数,对于,q,阶移动平均过程,MA(q,),我们利用自相关函数图来确定,q,，,样本自相关系数为,当样本的容量,n,很大时，可以证明 近似服从均值为,0,，方差为,1/,n,的正态分布。,2,移动平均阶数,q,的确定,检验方法,：,步骤,1,：计算出置信区间 ；,步骤,2,：计算出各阶样本自相关系数 （可以由自相关函数图得到）；,步骤,3,：考察 是否落在此区间内。如果 落在区间外，则说明 是显著的（即 ）；否则 是不显著的（即 ）。,【,注,】,上述置信区间是在置信度为,95%,下取得的。,二 移动平均模型的估计,对于,q,阶移动平均过程,MA(q,),直接利用,自回归函数,将上式中 的用其估计值 代替，通过解方程求出参数 的估计值。,第四节 自回归移动平均过程（,ARMA,）,如果平稳随机过程既具有自回归过程的特性又有移动平均过程的特性，此就需要将二者结合，得到,自回归移动平均过程,ARMA,(,p,，,q,),。以,ARMA,(1,，,1),为,例，其具体的形式为：,自回归移动平均回归过程,ARMA,(,p,，,q,),估计比较复杂，需要用到非线性估计法。但是使用,Eviews,软件包就比较简单了，下面将具体的过程演示一下。,自回归求积移动平均过程（,ARIMA,）,上述讨论的,AR,，,MA,和,ARMA,均为平稳随机过程，但是许多时间序列是非平稳的，即它们是经过,求积的,，如果一个时间序列是非平稳的，而它的一阶差分是平稳的，称此时间序列是,I,(1),。,如果它的,d,次差分是平稳的，称此时间序列是,I,(,d,),。,因此对于时间序列,d,次,差分后平稳，然后用,ARMA,(,p,，,q,),作为它的模型，称此时间序列是,自回归求积移动平均,，记为,ARIMA,(,p,，,d,，,q,),。,具体的做法是先将时间序列差分生成新的数据，再利用,ARMA,模型。,第五节 协整理论和误差修正模型,在进行时间序列分析时，传统上要求时间序列是平稳的,。,否则的话就会产生“伪回归”问题。但是现实生活中绝大多数时间序列是非平稳的，我们通常的方法是对时间序列差分，然后对差分序列进行回归。但是这样做会忽略了原时间序列中所包含的信息。,但是恩格尔和格兰杰在很多问题的研究中发现有些变量虽然不是稳定的时间序列，但是它们之间却存在长期的稳定关系，也就是说它们之间存在协整关系。,一 协整,1,单整或求积,（,Integration,）,如果时间序列,x,t,是非平稳过程，而它的,d,阶差分是平稳过程，则称,x,t,是,d,阶单整,，记为,I,(,d,),。,2,协整（,Coi,ntegration,）,如果时间序列,x,t,和,y,t,是非平稳过程，但是它们的某个线性组合,x,t,-,ay,t,是平稳过程，则称,x,t,和,y,t,是协整（协积）的,。,如果,x,t,和,y,t,都是,I,(,d,),的话，则就有可能是协整的。一般消费和价格、两个相近替代的价格等都有可能是协整序列。,2,协整检验,恩格尔和格兰杰（,1987,）考虑了协整的各种检验法，我们在这里讨论其中的两种,。,假设,x,t,和,y,t,都是一阶求积的,I,(1),。,方法一：协整回归,DW,检验,首先估计如下协整回归方程,其中的,DW,统计值,残差,如果,x,t,和,y,t,都是一阶求积的,I,(1),，,则预期,u,也是,I,(1),，,那么上述回归的,DW,统计量就应该接近于零，两个序列将不具有协整关系。所以我们建立如下检验：,原假设,H,0,：,d,=0,若计算得到的,DW,统计值小于临界值，则认为,x,t,和,y,t,不具有协整关系。,显著性水平,%,DW,统计量值,扩充,DF-t,统计值,1,0.511,3.77,5,0.386,3.17,10,0.322,2.84,方法一：扩充,DF,-,t,检验,首先协整回归,得到残差为,然后作如下回归,对 的,t,统计值进行检验，如果它小于临界值，则认为,x,t,和,y,t,不具有协整关系。,二 误差修正模型（,ECM,）,仍然假设,x,t,和,y,t,都是一阶求积的,I,(1),。,对于自回归模型,模型,1,称为,误差修正模型,。,将上述模型的参数修改一下，得,如果,x,t,和,y,t,是协整的,为了估计其中的参数，恩格尔和格兰杰提出了两步估计法：,首先估计协整回归 ，得到残差,第,2,步做回归：,使用,OLS,法就可以得到要估计的参数。,第六节 自回归条件异方差模型,一 自回归条件异方差（,ARCH,）,模型,对于面板数据而言，既有时间序列序列，又有横截面数据，因而异方差和自相关都容易发生。特别是金融时间序列通常出现这种情形。,ARCH,(,Autoregressive Conditional,Heteroskedasticity,),模型,是,Engle,在,1982,年首先提出的，它把条件方差看作是前期误差的函数，也就是说条件方差是随时间变化的。,在时刻,t,以前的信息完全已知的条件下，随机误差项,u,t,的方差,满足,此模型称为,p,阶自,回归条件异方差,ARCH,（,p,）,模型。,二 广义自回归条件异方差（,GARCH,）,模型,在时刻,t,以前的信息完全已知的条件下，随机误差项,u,t,的方差,满足,此模型称为,GARCH,（,p,，,q,）,模型,。,下面以最简单的,GARCH,（,1,，,1,）,为例进一步讨论。,它实际上是一个无限的,ARCH,模型,谢 谢！,