1.2逻辑连接词

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散数学,(,Discrete Mathematics,),医学信息工程系,10/2/2024,1,第一章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),1.2.1,否定联结词,(Negation),1.2.2,合取,联结,词,(Conjunction),1.2.3,析取,联结,词,(,Dis,junction,),1.2.4,条件,联结,词,(,蕴涵,联结,词,Conditional),1.2.5,双条件,联结,(,等值,联结,词,Bic,onditional,),10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),在命题逻辑中,主要研究的是,复合命题,而,复合命,题,是由原子命题与逻辑联结词组合而成,联结词组是,复合命题的重要组成部分,.,1.2.1,否定,联结词,定义,1.2.1,设,P,为一命题，,P,的否定是一个新的复合命题,称为,P,的否定式，记作 “,P”,读作“非,P”.,符号“,”,称为否定联结词。,P,为真当且仅当,P,为假,.,说明,： “,”属于一元,(unary),运算符,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),“,”的定义也可用下表来说明,.,联结词“,”的定义真值表,P,P,0,1,1,0,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),例,1. P:,天津是一个城市,.,Q: 3,是偶数,.,于是,:,P:,天津不是一个城市,.,Q: 3,不是偶数,.,例,2. P:,苏州处处清洁,.,Q:,这些都是男同学,.,P:,苏州不处处清洁,(,注意,不是处处不清洁,).,Q:,这些不都是男同学,.,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),1.2.2,合取,联结,词,(Conjunction),定义,1.2.2,设,P,Q,为二命题，复合命题“,P,并且,Q”,（,或“,P,与,Q”,）,称为,P,与,Q,的合取式，记作,P,Q,，,符号“,”,称为合取联结词,.,P,Q,为真当且仅当,P,和,Q,同时为真,.,联结词“,”的定义真值表,P,Q,P,Q,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),说明：,“,”,属于二元,(binary),运算符,.,合取运算特点,：只有参与运算的二命题全为真时，运算,结果才为真，否则为假。,自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既,又,”,、“不但,而且,”,、“虽然,但是,”,、“一面,一面,”,、 “,和,”,、 “,与,”,等都可以符号化为,。,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),例,3.,将下列命题符号化,.,(1),李平既聪明又用功,.,(2),李平虽然聪明,但不用功,.,(3),李平不但聪明,而且用功,.,(4),李平不是不聪明,而是不用功,.,解,:,设,P:,李平聪明,.,Q:,李平用功,.,则,注意,：,不要见到“与”或“和”就使用联结词,！,例如,: (1),见课本,P11,例题,6 (2),李敏和李华是姐妹。,（,3,）李敏和张华是朋友。,(1) PQ,(2) P,Q,(3) PQ,(4),(,P),Q,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),例,4.,试生成下列命题的合取,.,(1) P:,我们在,B3-1. Q:,今天是星期二,.,(2) S,：李平在吃饭,. R,：,张明在吃饭,.,解,:,(1) PQ :,我们在,B3-1,且今天是星期二,.,(2) SR:,李平与张明在吃饭,.,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结,词,(Logical Connectives),1.2.3,析取,联结,词,(,Dis,junction,),定义,1.2.3,设,P,Q,为二命题，复合命题,“,P,或,Q”,称为,P,与,Q,的析取式，记作,P,Q,，,符号,称为析取联结词,. P,Q,为真当且仅当,P,与,Q,中,至少有一个为真,.,联结词“,”的定义真值表,P,Q,P,Q,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),说明：,“,”,属于二元,(binary),运算符,.,析取运算特点,：只有参与运算的二命题全为假时，运,算结果才为假，否则为真。,由析取联结词的定义可以看出， “,”与汉语中的联结词“或”意义相近，但又不完全相同。在现代汉语中，联结词的“或”实际上有“,可兼或,”和“,排斥或,”之分。考察下面命题：,（,1,）小王爱打球或爱跑步。,（,可兼或）,设,P,：,小王爱打球。,Q,：,小王爱跑步。,则上述命题可符号化为,：,P,Q,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),（,2,）林芳学过英语或法语。,（,可兼或）,设,P,：,林芳学过英语,。,Q,：,林芳学过法语,。,则上述命题可符号化为：,P,Q,（,3,）,派小王或小李中的一人去开会。,（,排斥或,）,设,P,：,派小王去开会。,Q,：,派小李去开会。,则上述命题可符号化为：,（,4,）,人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛,.,(,排斥或,）,（,5,）,ab,=0,即,a=0,或,b=0.,（,可兼或）,由此可见, “,P,Q”,表示的是“,可兼或”,.,(P,Q),(,P,Q),10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),（,6,）他昨天做了二十或三十道习题。,这里的“或”只表示了习题的近似数目，不能用连接词“,”表达，本命题是简单命题。,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),1.2.4.,条件,联结,词,(,蕴涵,联结,词,Conditional),定义,1.2.4,设,P,Q,为二命题，复合命题“如果,P,则,Q(,若,P,则,Q)”,称为,P,与,Q,的条件命题,记作,P,Q,.,P,Q,为假当且仅当,P,为真且,Q,为假,.,称符号“,”,为条件联结词。并称,P,为前件，,Q,为后件,.,联结词“,”的定义真值表,P,Q,P ,Q,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),注：,（,1,）,P,Q,表示的基本逻辑关系是,Q,是,P,的必要条件或,P,是,Q,的充分条件,.,因此复合命题,“,只要,P,就,Q”,、“,因为,P,，,所以,Q”,、“,P,仅当,Q”,、,“,只有,Q,才,P”,、“除非,P,，否则,Q”,等都可以符号化为,P,Q,的形式。,（,2,）,”,“,属于二元,(binary),运算符。,例,5.,将下列命题符号化。,（,1,）天不下雨，则草木枯黄。,P,：,天下雨。,Q,：,草木枯黄。,则原命题可表示为：,PQ,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),（,2,）如果小明学日语，小华学英语，则小芳学德语。,P,：,小明学日语,Q,：,小华学英语,R,：,小芳学德语,.,则原命题可表示为：,（,3,）,只要不下雨，我就骑自行车上班。,P,：,天下雨。,Q,：,我骑自行车上班。,则原命题可表示为：,(PQ)R,PQ,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),（,4,）,如果,2+2=4,则,太阳从东方升起,。,P Q,如果,2+2=4,则,太阳从西方升起,。,R,如果,2+2 4,则太阳从东方升起。,如果,2+2 4,则太阳从西方升起。,注意,:,(1),与自然语言的不同：,前件与后件可以没有任何内在联系！,(2),在数学中，“若,P,则,Q”,往往表示前件,P,为真，则后件,Q,为真的,推理关系,.,但数理逻辑中，当前件,P,为假时，,P,Q,的真值为,真。,(P Q, T),(P R, F),(P Q , T),(P R, T),10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),1.2.5,双条件,联结,(,等值,联结,词,Bic,onditional,),定义,1.2.5,设,P,Q,为二命题，复合命题“,P,当且仅当,Q”,称为,P,与,Q,的双条件命题，记作,P,iff,Q,或,P,Q,，,符号,称为双条件（等值）联结词。,P,Q,为真当且仅当,P,，,Q,真值相同。,联结词“,”的定义真值表,P,Q,P,Q,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),注：,（,1,）,P,当且仅当,Q,译为,P,Q,（,2,）,“,”,属于二元,(binary),运算符。,（,3,）,双条件命题,P,Q,所,表达的逻辑关系是, P,与,Q,互为充分必要条件,相当于,(P,Q),(Q,P),.,只要,P,与,Q,的真值同为,1,或同为,0, P,Q,的,真值就为,1,否则,P,Q,的真值为,0.,双条件联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。,10/2/2024,例,6.,分析下列命题的真值,.,P,：,2+2=4. Q,：,3,是奇数,.,(1) 2+2=4,当且仅当,3,是奇数,. (P,Q),(2) 2+2=4,当且仅当,3,不是奇数,. (P,Q),(3) 2+2,4,当且仅当,3,是奇数,. (P,Q),(4) 2+2,4,当且仅当,3,不是奇数,. (P,Q),例：,两个三角形全等，当且仅当他们的三组边对应相等。,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),约 定,:,1.,运算次序优先级：，,，,，,.,2.,相同的运算符按从左至右次序计算，否则要加上括号。,3.,最外层圆括号可省去。,小结,:,本节介绍了五种联结词,(,，,，,，,),重点是理解和掌握,五种联结词的内涵及它们与自然语言中相应联结词的不同之处,.,10/2/2024,第,1,章 命题逻辑,（,Propositional Logic,）,1.2,逻辑联结词,(Logical Connectives),思考题,:,1.,何谓合式公式,?,2.,复合命题符号化的基本步骤是什么,?,3.,何谓真值表,?,4.,两个命题公式等价的涵义是什么,?,5.,两个等价的命题公式其真值表有何关系,?,10/2/2024,