第三章 时域分析法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 时域分析法,3.1,典型输入信号和时域性能指标,3.2,一阶系统的时域分析,3.3,二阶系统的时域分析,3.4,高阶系统的时域分析,3.5,系统的稳定性分析,3.6,系统的稳态特性分析,概述：,时域分析,:,根据控制系统的时间响应来分析系统的稳定性，暂态性能和稳态精度。,是通过传递函数、拉氏变换及反变换求出系统在典型输入下的输出表达式，从而分析系统时间响应的全部信息。,具有直观和准确的优点,适用于低阶系统。,对控制系统的总要求是稳、准、快,.,1,、单位阶跃函数（位置函数）,控制系统的输出响应是系统数学模型的解。系统的输出响应不仅取决于系统本身的结构参数和初始状态，而且与输入信号的形式有关。,3.1,典型输入信号和时域性能指标,在,t,=0,处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上，如指令的突然转换、电源的突然接通、负荷的突变等,2,、单位斜坡信号数 （等速度函数）,相当于随动系统中加入一个按恒速变化的位置信号,3,、单位加速度信号（等抛物线函数）,相当于系统中加入一个按等加速度变化的位置信号,4,、单位脉冲信号,单位脉冲信号在现实中是不存在的，它只有数学上的意义。,在系统分析中，它是一个重要的数学工具,在实际中有很多信号与脉冲信号相似，如脉冲电压信号、冲击力和阵风等。,各函数间关系：,5,、正弦函数,系统对不同频率的正弦函数的稳态响应称频率响应,二、阶跃响应的时域性能指标,时域中评价系统的暂态性能，通常以单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。,1,）延迟时间,t,d,：,输出响应第一次达到稳态值,50%,所需的时间。,（,2,）上升时间,t,r,：,响应第一次达到稳态值,c,（）,的时间。无超调时为响应从稳态值的,10%,到,90%,的时间。,（,3,）峰值时间,t,p,：,响应超过稳态值,c,（）,达到第一个峰值（最大超调）的时间。,4,）调节时间,t,s,：,响应与稳态值之间的偏差达到允许范围，并维持在此范围内所需的时间。,通常该偏差范围称作误差带，一般取稳态值,c,（）,的,2%,或,5%,，用符号,表示，即,=2%,或,=5%,5,）最大超调量,响应的最大值 超过稳态值,c(),的数，常用百分数表示，又称百分比超调，即,6,） 稳态误差,e,ss,：,指系统输出实际值与希望值之差。,在上述几项指标中，,峰值时间,tp,、,、上升时间,tr,和延迟时间,td,均表征系统响应初始阶段的快慢；,调节时间,ts,表征系统过渡过程（暂态过程）的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；,而超调量,Mp,标志暂态过程的稳定性；,稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。,3.2,一阶系统的时域分析,系统的过渡过程，凡是可用一阶微分方程描述的，称一阶系统,T,称为时间常数，它是表征系统惯性的一个重要参数,典型结构,传递函数,二、一阶系统单位阶跃响应,T,4T,0,0,1,0.98,0.63,t,特点：,t=0,时，斜率最大,t=T,时，达到,63%,，,t=4T,时，达到,98%,T,反映了系统的响应速度。,1.,暂态性能指标,2.,稳态性能指标,t,r,=2.2T,（,按第二种定义运算）,t,s,=3T,（,=5%,）,t,s,=4T,（,=2%,）,三、一阶系统的单位斜坡响应,特点：,t=0,时,斜率为,0,t,时,c()=t-T,e,ss,=,c()-r(t,)=T,特点,:,t=0,时,斜率为,四、一阶系统的单位脉冲响应,3.3,二阶系统的时域分析,一、典型的二阶系统,特征根,一对实部为负的共轭复数根,欠阻尼状态,临界阻尼状态,两个相等的负实根,过阻尼状态,两个不相等的负实根,无阻尼状态,一对纯虚根,根的分布,图,衰减系数,阻尼振荡频率,二、二阶系统的单位阶跃响应,响应曲线为等幅余弦振荡曲线,1,、,=0,（,零阻尼）,2,、,1(,过阻尼）,系统响应含有两个单调衰减的指数项，因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的,3,、,=1 (,临界阻尼,),临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为,1,的非周期上升过程，整个响应特性不产生振荡是无超调响应中最快的,4.,、,00,6-K0,即：,0 K 6,2.,稳定裕量：,系统距离稳定边界有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量的问题。,将,s,平面的虚轴向左移动某个数值，即令,s=z-a,（,为正实数）,将,s=z-a,带入系统特征方程式，则得到,z,的多项式，利用代数判据对新的特征多项式进行判别，即可检验系统的稳定裕量。,因为新特征方程式的所有根如果均在新虚轴的左半平面，则说明系统至少具有稳定裕量,a,。,jw,a,-s,3,-s,2,-s,1,例,3-9,设比例,-,积分控制系统如图,3-18,所示，,K,1,为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参数,=0.2,及,n,=86.6,，,试用劳斯稳定判决回答问题。,解 根据系统的结构图，可其闭环传递函数为：,闭环特征方程式为,s,3,1 7500,s,2,34.6 7500K,1,s,1,(34.6,7500,-7500K,1,)/34.6,s,0,7500K,1,K,1,的取值范围为,0 K,1, 0,7500K,1, 0,令,s=s,1,-1,代入原特征方程式，得到如下新特征方程式：,s,3,1 7433.8,s,2,31.6 7500K,1,-7466.4,s,1,31.6,7433.8,-（7500K,1,-7466.4）/31.6,s,0,7500K,1,-7466.4,使得全部闭环极点位于,s=-1,垂线之左：,1 K,1, 32.3,(2),如果要求闭环系统的极点全部位于,s=-1,垂线之左，问,K,1,值范围应取多大？,小结：系统稳定性,线性系统稳定的充分必要条件：,系统特征方程式所有的根（即闭环传递函数的极点）全部为负实数或为具有负实部的共轭复数，也就是所有的极点分布在,s,平面虚轴的左侧。,判断稳定的方法：,直接法、间接法,劳斯判据：,根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在,s,平面上的具体分布。,代数稳定判据,的应用：,判别系统的稳定性、,检验稳定裕度、 分析系统参数变化对稳定性的影响,代数稳定判据：,劳斯判据、古尔维茨判据,3.6,系统的稳态特性分析,稳态误差反映了系统的稳态精度，用来评价系统稳态性能的好坏。,影响系统稳态误差的因素：系统的结构、系统的参数以及输入量的形式等。,系统的稳态误差按输入信号形式不同分为,扰动作用下的稳态误差,给定作用下的稳态误差,一、稳态误差和误差传递函数,.,1.,误差的定义,:,被控量的希望值和实际值之差,.,即,单位反馈系统,.,非单位反馈系统,系统的,误差传递函数,二、系统的分类：,根据开环传递函数中串联的,积分个数,，将系统分为几种不同类型,K,为系统的开环增益,为开环传递函数中积分环节的个数,系统按,的不同取值可以分为不同类型。,=0,时，系统称为,0,型系统,=1,时，系统称为,型系统,=2,时，系统称为,型系统,三、给定输入信号下的稳态误差,1.,单位阶跃输入信号下的稳态误差,2.,斜坡输入信号下的稳态误差,3.,抛物线输入信号下的稳态误差,系统类型,误差系数,典型输入作用下稳态误差,Kp,Kv,阶跃,r=,R.1(t),斜坡,r=,vt,抛物线,r=at,2,/2,0,型系统,K,0,0,R/(,1+Kp,),型系统,K,0,0,v/K,v,型系统,K,0,0,a/Ka,Ka,表,3-1,误差系数和稳态误差,例,3-12,设控制系统如图所示，输入信号,r(t,) =1,，,试分别确定,Kk,为,1,和,0.1,时，系统输出量的稳态误差,e,ss,。,开环传递函数,可以看出，随着,Kk,的增加，稳态误差,e,ss,下降,0,型系统,位置误差系数为,R(s),-,C(s,),。,例,3-13,已知单位负反馈系统的开环传递函数为,当参考输入为,u(t)=4 + 6t + 3t,2,时，,试求系统的稳态误差,解 由于系统为,型系统，所以对阶跃输入和斜坡输入下的稳态误差均为零,.,对抛物线输入，由于,所以稳态误差为,四,、,扰动输入引起的稳态误差,.,控制系统一方面使输出保持和给定输入一致，另一方面要使干扰对输出的影响尽可能小，因此干扰对输出的影响反映了系统的抗干扰能力。,注意：,由于给定输入与扰动输入作用于系统的不同位置，因此即使系统对某种形式的给定输入信号作用的稳态误差为零，但对同一形式的扰动信号作用，其稳态误差不一定为零。,干扰引起的全部输出就是误差。,扰动作用下的误差称为扰动误差,扰动作用下系统的误差传递函数为,根据拉氏变换终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为,例,3-15,设系统结构图如图所示，,n(t)=0.1,1(t),为使其在扰动作用下的稳态误差,|,e,ss,|0.05,试求,K,1,的数值范围。,解 对扰动的误差传递函数为：,应用劳斯判据可以计算出系统稳定时,K,1,的数值范围是,0K,1,3,因此既满足稳态误差的要求，又保证系统稳定，应选取,1K,1,3,。,根据要求,|e,ss,|0.05,则有,例,控制系统如图所示，已知,r(t,)=,d(t,)=1(t),，,试求,1,比较求,K=40,和,K=20,时系统的稳态误差。,2.,在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环分,1/s,，对结果有什么影响？在扰动作用点之后引入积分环节,1/s,，结果如何？,R(s,),C(s,),+,D(s,),系统稳态误差,给定作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差,解：分析：,给定作用下的稳态误差,方法,1,：系统为,0,型，所以位置误差系数为,方法,2,：,扰动作用下的稳态误差,系统总的稳态误差,在扰动作用点之前引入积分环分,1/s,系统为,1,型，对阶跃给定输入稳态误差,扰动作用下的稳态误差,在扰动作用点之后引入积分环分,1/s,系统为,1,型，对阶跃给定输入稳态误差,扰动作用下的稳态误差,1.,保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性，必要时需采用误差补偿措施。,五、减小稳态误差的方法,2.,增大开环放大系数，以提高系统对给定输入的跟踪能力；增大扰动作用前系统前向通道的增益，以降低扰动稳态误差。,3.,增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。但是，积分环节数目增加会降低系统的稳定性，并影响到其它暂态性能指标。,4.,采用补偿方法进行前馈控制（复合控制），,1),按给定补偿的复合控制,若 ，则,所谓,补偿,指作用于控制对象的控制信号中，除了偏差信号中，还引入与扰动或给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小误差。这种控制称复合控制或前馈控制,2,）按扰动补偿的复合控制,若 ，则,E(s,)=0,G,1,(s),的分母阶次高于分子，,G,d,(s,),的分母阶次低于分子，物理实现困难,本章小结,1.,时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应，来分析控制系统的稳定性、暂态性能和稳态性能。对稳定系统，在工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价控制系统性能的优劣。,2.,由于传递函数据和微分方程之间具有确定的关系，故常利用传递函数进行时域分析。例如由闭环传递函数的极点决定系统的稳定性。由阻尼比确定超调量以及由于开环传递函数中积分环节的个数和放大系数确定稳态误差等等。此时无须直接求解微分方程，使系统分析工作大为简化。,3.,对二阶系统的分析，在时域分析中占有重要位置。应牢牢掌握系统性能和系统特征参数间的关系。对一、二阶系统理论分析的结果，常是分析高阶系统的基础,4, 稳定性是系统正常工作的首要条件。线性系统的稳定性是系统的一种固有特性，完全由系统的结构和参数所决定。判别稳定性的代数方法是劳斯,古尔维茨代数稳定性判据。稳定性判据只回答特征方程式的根在,s,平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。,4,稳态误差是系统是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的精度。稳态误差既和系统的结构、参数有关，又和外作用的形式及大小有关。系统类型和误差系数既是恒量稳态误差的一种标志，同时也是计算稳态误差的简便方法。系统型号越高，误差系数越大，系统稳态误差越小。,稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。,作业：,3.1,，,3.2,，,3.5,（,2,）（,4,），,3.7,，,3.8,（,2,），,3.10,