描述对象特征随时间(空间)的演变过程bweo

动态,问题,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,第四讲 微分方程建模,一般处理动态连续问题,4,.1 人口预测和控制,4,.2,传染病模型,方法,根据规律列方程,微元分析法,模拟近似法,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,4.1,人口预测和控制,指数增长模型马尔萨斯提出(,1798,),常用的计算公式,x,(,t,),时刻,t,的,人口,基本假设,:人口(相对)增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数(逐渐下降),阻滞增长模型(,Logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率(,x,很小时),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(,Logistic,模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家估计,阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2557,x,m,=392.1,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国,2010,年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic,模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,离散：Leslie,4.2 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人),i,(,t,),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(日接触率),t,m,Logistic 模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型,3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率),卫生水平,(日,治愈率),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值 1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,模型,5,传染病有潜伏期,SEIR,模型,假设,1）总人数,N,不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日,治愈率,接触数,=/,建模,建立 方程,3）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染 病者,模型,5,S,E,IR,模型,9,、静夜四无邻，荒居旧业贫。,10月-24,10月-24,Wednesday,October 2,2024,10,、雨中黄叶树，灯下白头人。,07:41:02,07:41:02,07:41,10/2/2024 7:41:02 AM,11,、以我独沈久，愧君相见频。,10月-24,07:41:02,07:41,Oct-24,02-Oct-24,12,、故人江海别，几度隔山川。,07:41:02,07:41:02,07:41,Wednesday,October 2,2024,13,、乍见翻疑梦，相悲各问年。,10月-24,10月-24,07:41:02,07:41:02,October 2,2024,14,、他乡生白发，旧国见青山。,02 十月 2024,7:41:02 上午,07:41:02,10月-24,15,、比不了得就不比，得不到的就不要。,十月 24,7:41 上午,10月-24,07:41,October 2,2024,16,、行动出成果，工作出财富。,2024/10/2 7:41:02,07:41:02,02 October 2024,17,、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。,7:41:02 上午,7:41 上午,07:41:02,10月-24,9,、没有失败，只有暂时停止成功！。,10月-24,10月-24,Wednesday,October 2,2024,10,、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。,07:41:02,07:41:02,07:41,10/2/2024 7:41:02 AM,11,、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。,10月-24,07:41:02,07:41,Oct-24,02-Oct-24,12,、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。,07:41:02,07:41:02,07:41,Wednesday,October 2,2024,13,、不知香积寺，数里入云峰。,10月-24,10月-24,07:41:02,07:41:02,October 2,2024,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,02 十月 2024,7:41:02 上午,07:41:02,10月-24,15,、楚塞三湘接，荆门九派通。,十月 24,7:41 上午,10月-24,07:41,October 2,2024,16,、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。,2024/10/2 7:41:02,07:41:02,02 October 2024,17,、空山新雨后，天气晚来秋。,7:41:02 上午,7:41 上午,07:41:02,10月-24,9,、杨柳散和风，青山澹吾虑。,10月-24,10月-24,Wednesday,October 2,2024,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,07:41:02,07:41:02,07:41,10/2/2024 7:41:02 AM,11,、越是没有本领的就越加自命不凡。,10月-24,07:41:02,07:41,Oct-24,02-Oct-24,12,、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。,07:41:02,07:41:02,07:41,Wednesday,October 2,2024,13,、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。,10月-24,10月-24,07:41:02,07:41:02,October 2,2024,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,02 十月 2024,7:41:02 上午,07:41:02,10月-24,15,、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,十月 24,7:41 上午,10月-24,07:41,October 2,2024,16,、业余生活要有意义，不要越轨。,2024/10/2 7:41:02,07:41:02,02 October 2024,17,、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。,7:41:02 上午,7:41 上午,07:41:02,10月-24,MOMODA POWERPOINT,Lorem ipsum dolor,sit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis,amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blanditut,cursus.,感谢您的下载观看,专家告诉,