教育专题：D7_3齐次方程

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,齐次方程,第三节,一、齐次方程,*,二、可化为齐次方程的方程,第七章,一、齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,分离变量,:,例,1.,解微分方程,解,:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,= 0,时,y,= 0,也是方程的解,),(,C,为任意常数,),此处,例,2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,= 0 ,y,= 0 ,y = x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数,),求解过程中丢失了,.,由光的反射定律,:,可得 ,OMA,= ,OAM,=,例,3.,探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解,:,将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角,=,反射角,能的要求,在其旋转轴,(,x,轴,),上一点,O,处发出的一切光线，,从而,AO,=,OM,xOy,坐标面上的一条曲线,L,绕,x,轴旋转而成,按,聚光性,而,AO,于是得微分方程,:,经它反射后都与旋转轴平行,.,求曲线,L,的方程,.,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为旋转抛物面,.,于是方程化为,(,齐次方程,),顶到底的距离为,h,说明,:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为,d,代入通解表达式得,作业,(,h,k,为待,*二、可化为齐次方程的方程,作,变换,原方程化为,令,解出,h,k,(,齐次方程,),定常数,),求出其解后,即得,原方,程的解,.,原方程可化为,令,(,可,分离变量方程,),注,:,上述方法可适用于下述更一般的方程,例,4.,求解,解,:,令,得,再令,Y,X,u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解,:,得,C,= 1 ,故所求特解为,思考,:,若方程改为,如何求解,?,提示,:,作业,P309 1,(1), (4), (6),; 2,(2), (3),;,3 ; *4,(4),第四节,