第6章 测量误差

*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,6,章 测量误差及数据处理的基本知识,6.1,概述,6.2,测量误差的种类,6.3,偶然误差的特性及其概率密度函数,6.4,衡量观测值精度的指标,6.5,误差传播定律,6.6,同精度直接观测平差,6.7,不同精度直接观测平差,6.8,最小二乘法原理及其应用,6.1,测量误差概述,测量误差及其来源,测量误差（真误差,=,观测值,-,真值,）,测量误差的表现形式,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,测量误差的来源,（,1,）,仪器误差：,仪器精度的局限、轴系残余误差等,。,（,2,）,人为误差：,判断力和分辨率的限制、经验等。,（,3,）,外界条件的影响：,温度变化、风、大气折光等,6.2,测量误差的种类,测量误差分为：,粗差,、,系统误差,和,偶然误差,1.,粗差,(,错误,),超限的误差,2.,系统误差,误差出现的大小、符号相同，或按,规律性变化，具有,积累性,。,例：误差 处理方法,钢尺尺长误差,ld,计算改正,钢尺温度误差,lt,计算改正,水准仪视准轴误差,I,操作时抵消,(,前后视等距,),经纬仪视准轴误差,C,操作时抵消,(,盘左盘右取平均,),系统误差可以消除或减弱,。,(,计算改正、观测方法、仪器检校,),3.,偶然误差,误差出现的大小、符号各不相同，,表面看无规律性。,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，,导致观测值产生误差,。,4.,几个概念,:,准确度,(,测量成果与真值的差异）,精（密）度,（观测值之间的离散程度）,最或是值,（最接近真值的估值，最可靠值）,测量平差,（求解最或是值并评定精度）,6.3,偶然误差的特性,举例,:,在某测区，等精度观测了,358,个三角形的内,角之和，得到,358,个三角形闭合差,i,(,偶然误,差，也即真误差,),，然后对三角形闭合差,i,进行分析。,分析结果表明，,当观测次数很多时，偶然,误差的出现，呈现出统计学上的规律性,。,而,且，观测次数越多，规律性越明显。,用,频率直方图,表示的偶然误差统计：,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区,间的频率,k/n,，而所有条形的,总面积等于,1,。,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，,对称于,y,轴。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,偶然误差的特性,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的,四个特性,：,(1),在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定,的限值,(,有界性,),；,(2),绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多,(,趋势性,),；,(3),绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等,(,对称性,),；,(4),当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零,(,抵偿性,),：,特性,(1),、,(2),、,(3),决定了特性,(4),，,特性,(4),具有实用意义。,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数,n,无限增多,(n,),、,误差区间,d,无限缩小,(,d,0),时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，,这条曲线称为,“,正态分布曲,线,”,，又称为,“,高斯误差分,布曲线,”。,所以偶然误差,具有,正态分布,的特性。,正态分布曲线,-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21,-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24,x=,y,6.4,衡量精度的指标,1.,方差与标准差,由正态分布密度函数,Y,标准差的数学意义,上式中，,称,为,方差,：,称为,标准差,：,测量工作中，用,中误差,作为衡量观测值精度的标准。,中误差,:,观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形,观测次数,n,有限,时，用,中误差,m,表示偶然误差的离散情形,上式中，偶然误差,为观测值,与真值,X,之差：,i,=,i,-,X,m1=,2.7,是第一组观测值的中误差；,m2=,3.6,是第二组观测值的中误差。,m1,小于,m2,说明第一组观测值的误差分布比较,集中,，,其,精度较高,；相对地，第二组观测值的误差分布比,较,离散,，其,精度较低：,2.,容许误差,(,极限误差,),根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间,d,内的概,率为：,误差出现在,K,倍中误差区间内的,概率为：,将,K=1,、,2,、,3,分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在,一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率,：,P(|m)=0.683=68.3,P(|2m)=0.954=95.4,P(|3m)=0.997=99.7,测量中，,一般取,两倍中误差,(2,m),作为,容许误差,，也称为,限差：,|,容,|=3|,m|,或,|,容,|=2|,m|,3.,相对误差,(,相对中误差,),误差绝对值与观测量之比。,用于表示,距离,的精度。,用分子为,1,的分数表示。,分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,例,2,：,用钢尺丈量两段距离分别得,S1=100,米,m1=0.02m,；,S2=200,米,m2=0.02m,。计算,S1,、,S2,的相对误差。,0.02 1 0.02 1,K,1,=；K,2,=,100 5000 200 10000,解：,K2K1,，所以距离,S2,精度较高。,6.5,误差传播定律,在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。,本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。,一,.,观测值的函数,例：,高差,平均距离,实地距离,三角边,和或差函数,线性函数,倍数函数,一般函数,坐标增量,一般函数,设有函数,为,独立,观测值,(a),对,(a),全微分,(b),用偶然误差 、代替微量元素 、得：,(c),转换成中误差关系式即,误差传播定律,：,(6-5),二,.,一般函数的中误差公式,误差传播定律,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤,：,1.,列出函数式；,2.,对函数式求全微分；,3.,套用误差传播定律，写出中误差式。,1.,倍数函数的中误差,设有函数式,(,x,为观测值，,K,为,x,的系数,),全微分,得中误差式,例：,量得地形图上两点间长度,=,168.5mm,0.2mm,计算该两点实地距离,S,及其中误差,ms,：,解：,列函数式,求全微分,中误差式,三,.,几种常用函数的中误差,设有函数式,全微分,中误差式,例,：,设有某线性函数,其中,、,、,分别为独立观测值，它们的中误差分,别为,求,Z,的中误差,。,解：,对上式全微分：,由中误差式得：,2.,线性函数的中误差,函数式,全微分,中误差式,3.,算术平均值的中误差式,由于等精度观测时，代入上式：,得,由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误,差,缩小了,倍。,对某观测量进行多次观测,(,多余观测,),取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,4.,和或差函数的中误差,当等精度观测时：,上式可写成：,例,：,测定,A,、,B,间的高差,，,共连续测了,9,站。设测量,每站高差的中误差,，,求总高差,的中误差,。,解：,函数式：,全微分：,中误差式：,观测值函数中误差公式汇总,函数式 函数的中误差,一般函数,倍数函数,和差函数,线性函数,算术平均值,例,1,：,要求三角形最大闭合差,m,15,，,问用,DJ6,经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？,=(,1,+,2,+,3,),-,180,解：,由题意：,2,m=,15,则,m=,7.5,每个角的测角中误差,：,由于,DJ6,一测回角度中误差为：,由角度测量,n,测回取平均值的中误差公式：,用,DJ6,经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测,4,个测回取平均，可使得三角形闭合差,m,15,。,四,.,误差传播定律的应用,例,2,：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解,:(1),测量水平距离的精度,基本公式：,求全微分：,其中：,水平距离中误差：,例,2,：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解,:(2),测量高差的精度,基本公式：,求全微分：,其中：,高差中误差：,例,3,:,(1),用钢尺丈量某正方形一条边长为,求该正方形的,周长,S,和,面积,A,的中误差,.,(2),用钢尺丈量某正方形四条边的边长为,其中,:,求该正方形的,周长,S,和,面积,A,的中误差,.,解,:(1),周长,全微分,:,周长的中误差为,面积,全微分,:,面积的中误差为,(2),周长,;,周长的中误差为,面积,全微分,:,但由于,得周长的中误差为,例,4,：,已知直线,MP,的坐标方位角,=722000,，,水平距离,D=240m,。,如已知方位角中误差,，距离中误差 ，,求由此引起的,P,点的坐标中误差 、，,以及,P,点的点位中误差 。,X,Y,O,x,y,D,M,P,解：,由误差传播定律：,P,点的点位中误差：,6.6,同（等）精度直接观测平差,观测值的算术平均值,(,最或是值,),用观测值的改正数,v,计算观测值的 中误差,(,即,:,白塞尔公式,),6.6.1.,观测值的,算术平均值,(,最或是值、最可靠值,),证明,算术平均值,为该量的,最或是值：,设该量的真值为,X,，则各观测值的真误差为,1,=,1,-,X,2,=,2,-,X,n=,n-,X,上式等号两边分别相加得和：,对某,未知量,进行了,n,次观测，得,n,个观测值,1,2,n,则该量的算术平均值为：,x=,1,+,2,+,+,n,n,n,两边除以,n,：,由,当观测无限多次时,：,得,当,观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该,量的真值；,当,观测次数有限时，观测值的,算术平均,值最接近真值,。所以，算术平均值是,最或是值。,观测值的改正数,v,：,V,i,=,L-,i(i=1,2,n),特点,1,改正数总和为零：,对上式取和：,以 代入：,通常用于计算检核,L=,n,v=,nL,-,n,v,=n -,=0,v,=,0,特点,2,vv,符合,“,最小二乘原则,”,：,则,即,vv=(x-,),2,=min,=2,(,x-,),=0,dvv,dx,(,x-,),=0,n,x,-,=0,x,=,n,以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数,v,，,符合,vv=min,的,“,最小二乘原则,”,。,6.6.2,精度评定,用观测值的改正数,v,计算中误差,一,.,计算公式,(,即白塞尔公式,),：,比较前面的公式，可以证明，两式根号内的,部分是相等的，,即在 与 中：,证明如下,：,真误差：,改正数：,由上两式得,对上式取,n,项的平方和,其中,:,中误差,定义,:,白塞尔,公式,:,算例,1:,例：,对某水平角等精度观测了,5,次，观测数据如下表，,求其算术平均值及观测值的中误差。,解：,该水平角,真值未知,，可用,算术平均值的改正数,V,计,算其中误差：,次数,观测值,V,V V,备注,1,76,42,49,-4,16,2,76,42,40,+5,25,3,76,42,42,+3,9,4,76,42,46,-1,1,5,76,42,48,-3,9,平均,76,42,45,V=0,VV=60,76,42,45,1.74,算例,2,：,对某距离用精密量距方法丈量六次，求,该距离的算术平均值；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差；算术平均值的相对中误差 ：,凡是相对中误差，都必须用分子为,1,的分数表示。,6.7,不同精度直接观测平差,一、权的概念,权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,1,权的定义：,设一组不同精度的观测值为,l i,其中误差为,mi,(I=1,2n),，选定任一大于零的常数,，则定义权为,称,P,i,为观测值,l,i,的