概率论第十三讲协方差与相关系数课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学目的,：,1,.矩的概念,.,2,.协方差与相关系数,3,切贝谢夫不等式,第十三讲 协方差与相关系数,教学内容,：,第三章，3.6 3.7。,教学目的：第十三讲 协方差与相关系数教学内容：,一,矩,设,X,为离散 r.v.分布为,X,连续 r.v.，d.f.为,定义,一 矩设 X 为离散 r.v.分布为X连续 r.v.，d,二,协方差和相关系数,问题,对于二维随机变量(,X,Y,):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自,的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系,.,数,反映了随机变量,X,Y,之间的某种关系,二 协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X,Y),称,为,X,Y,的,协方差.,记为,称,为（,X,Y,）的,协方差矩阵,可以证明,协方差矩阵 为 半正定矩阵,协方差和相关系数的定义,定义,称为 X,Y 的协方差.记为,若,D,(,X,)0,D,(,Y,)0,称,为,X,Y,的,相关系数,，记为,事实上，,若,称,X,Y,不相关,.,无量纲,的量,若D(X)0,D(Y)0,称为X,若,(,X,Y,),为离散型，,若,(,X,Y,),为连续型，,协方差和相关系数的计算,若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连,求 cov(,X,Y,),XY,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,例1,已知,X,Y,的联合分布为,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,0,0,q,0,p 0,D,(,Y,)0 时，当且仅当,时,等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,证,令,对任何实数,t,当D(X)0,D(Y)0 时，当且仅当时,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,显然,即等号成立有两个相等的实零点即显然,即,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于1,这种,线性关系为,即即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1,这种,完全类似地可以证明,当,E,(,X,2,)0,E,(,Y,2,)0 时,当且仅当,时,等式成立.,完全类似地可以证明当E(X 2)0,E(Y 2),相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式,的等号成立,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于1，,这种线性关系为,相关系数的性质 Cauchy-Schwarz不等式即Y 与,概率论第十三讲协方差与相关系数课件,如例1中,X,Y,的联合分布为,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,0,0,q,0,p 0,不等式 成立，,或,返回主目录,三、切比晓夫不等式定理：（切比晓夫不等式）返回主目录,返回主目录,返回主目录,例4,假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。,例4假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,反例 1,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p,j,p,i,附录1,性质 4 的逆命题不成立，即若E(X Y)=E(X,X Y,P,-1 0 1,但,X Y P-1 0,反例2,反例2,但,但,几个重要的 r.v.函数的数学期望,X,的,k,阶原点矩,X,的,k 阶绝对原点矩,X,的,k 阶中心矩,X,的,方差,附录,2,几个重要的 r.v.函数的数学期望 X 的 k 阶原点,X,Y,的,k+l 阶混合原点矩,X,Y,的,k+l 阶混合中心矩,X,Y,的,二阶原点矩,X,Y,的,二阶混合中心矩,X,Y,的,协方差,X,Y,的,相关系数,X,Y 的 k+l 阶混合原点矩 X,Y,作业 P.117 习题三,23 24,25 26,作业 P.117 习题三 23 24,