与圆有关的比例线段(切割线定理)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,与圆有关的比例线段(切割线定理),与圆有关的比例线段(切割线定理),相交弦、切割线、切线长定理,五 与圆有关的比例线段,相交弦、切割线、切线长定理五 与圆有关的比例线段,一、下面我们首先沿用,从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题,.,探究,1:,如图,1,AB,是,O,的直径,CDAB,AB,与,CD,相交于,P,线段,PA,、,PB,、,PC,、,PD,之间有什么关系？,O,B,D,A,C,P,图,1,证明,:,连接,AD,、,BC.,则由圆周角定理的推论可得,:,A,C.,RtAPDRtCPB.,一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦,探究,2:,将,图中的,AB,向上（或向下）平移,使,AB,不再是直径（如图），结论（）还成立吗？,O,B,D,A,C,P,图,O,B,D,A,C,P,图,PAPB=PCPD(1),证明,:,连接,AD,、,BC.,则由圆周角定理的推论可得,:,A,C.,RtAPDRtCPB.,探究2:将图中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（,O,B,D,A,C,P,图,PAPB=PCPD(1),证明,:,连接,AD,、,BC.,则由圆周角定理的推论可得,:,A,C.,APDCPB.,探究,3:,上面讨论了,CDAB,的情形进一步地,如果,CD,与,AB,不垂直，如图,AB,、,CD,是圆内的任意两条相交弦,结论（）还成立吗？,O,B,D,A,C,P,图,O,B,D,A,C,P,图,PAPB=PCPD(2),PAPB=PCPD(3),综上所述，不论,AB,、,CD,具有什么样的位置，都有结论（）成立！,OBDACP图PAPB=PCPD(1)证明:连接A,相交弦定理：,圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,.,O,B,D,A,C,P,几何语言：,AB,、,CD,是圆内的任意两条相交弦,交点为,P,PA,PB=PC,PD.,上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理,.,下面从新的角度考察与圆有关的比例线段,相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,探究,4:,使圆的两条弦的交点从,圆内,（图）运动到,圆上,（图），再到,圆外,（图），,结论,(1),还成立吗？,O,B,D,A,C,P,图,3,O,B,A,(C,P),D,图,4,O,B,D,A,C,P,图,5,当点,P,在圆上,PA=PC=0,所以,PA,PB=PC,PD,=0,仍成立,.,当点,P,在圆外,连接,AD,、,BC,容易证明,:,PADPCB,所以,PA:PC=PD:PB,即,PAPB=PCPD,仍成立,.,探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图）运动到圆上（图），,如图,已知点,P,为,O,外一点,割线,PBA,、,PDC,分别交,O,于,A,、,B,和,C,、,D.,求证,:PAPB=PCPD.,证法,2,：连接,AC,、,BD,，,四边形,ABDC,为,O,的内接四边形,PDB=A,，,又,P=P,PBD PCA.,PD,：,PA=PB,：,PC.,PAPB=PCPD.,割线定理：,从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等,.,应用格式（几何语言描述）,:,PAB,PCD,是,O,的割线,PAPB=PCPD.,O,C,P,A,D,B,如图,已知点P为O外一点,割线PBA、PDC分别交O于A,点,P,从圆内移动到圆外,PAPB=PCPD,O,B,D,A,C,P,图,3,PAPB=PCPD,图,5,O,C,P,A,D,B,O,A(B),P,C,D,使割线,PA,绕,P,点运动到切线的位置，是否还有,PAPB=PCPD,？,证明,:,连接,AC,、,AD,同样可以证明,PADPCA,所以,PA:PC=PD:PA,即,PA,2,=PCPD,仍成立,.,点P从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACP图3P,如图,已知点,P,为,O,外一点，,PA,切,O,于点,A,，割线,PCD,交,O,于,C,、,D.,求证：,PA,2,=PCPD.,证明：连接,AC,、,AD,，,PA,切,O,于点,A,D=PAC.,又,P=P,PAC PDA.,PA,：,PD=PC,：,PA.,PA,2,=PCPD.,切割线定理,:,从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项,.,应用格式（几何语言描述）,:,PA,是,O,的切线,PCD,是,O,的割线,PA,=PCPD.,O,D,P,C,A,探究,5:,使圆的割线,PD,绕点,P,运动到切线位置，可以得出什么,结论？,如图,已知点P为O外一点，PA切O于点A，割线PCD 交,点,P,从圆内移动到圆外,.,相交弦定理,PAPB=PCPD,O,B,D,A,C,P,图,3,割线定理,PAPB=PCPD,图,5,O,C,P,A,D,B,使割线,PA,绕,P,点运动到切线的位置,.,O,A(B),P,C,D,切割线定理,PA,2,=PCPD,使割线,PC,绕,P,点也运动到切线的位置,.,切线长定理,PA=PC,APO=CPO,O,A(B),P,C(D),点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PAPB=PCPDOBD,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？,1.,结论都为乘积式,;,2.,几条线段都是从同一点出发,;,3.,都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）,.,PC,切,O,于点,C,=,PAPB=PC,切割线定理,O,B,P,C,A,割线,PCD,、,PAB,交,O,于点,C,、,D,和,A,、,B,=,PAPB=PCPD,割线定理,O,B,C,A,D,P,AB,交,CD,于点,P,=,PAPB=PCPD,相交弦定理,O,B,P,C,A,D,PA,、,PC,分别切,O,于点,A,、,C,=,PA=PC,APO=CPO,切线长定理,O,A(B),P,C(D),另外，从全等角度可以得到：,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为,2.,联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？,A,D,C,B,C,O,说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！,B,A,D,C,2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBC,例,1,如图,圆内的两条弦,AB,、,CD,相交于圆内一点,P,已知,PA=PB=4,PC=PD/4.,求,CD,的长,.,O,B,P,C,A,D,解：设,CD=x,则,PD=4/5x,PC=1/5x.,由相交弦定理，得,PAPB=PCPD,44=1/5x,4/5x,解得,x=10.,CD=10,.,例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知P,练习,1,.,如图,割线,PAB,PCD,分别交圆于,A,B,和,C,D.,(1),已知,PA=5,PB=8,PC=4,则,PD=,PT=,(2),已知,PA=5,PB=8,PO=7,则半径,R=,10,3,练习,2,.,如图,割线,PAB,PCD,分别交圆于,A,B,和,C,D,连结,AC,BD,下面各比例式中成立的有,:,O,D,P,A,T,B,C,PAPB=(7-R)(7+R),PAC PDB,BED AEC,PAD PCB,O,C,P,A,D,B,E,练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.1,练习,3,.,如图,A,是,O,上一点,过,A,切线交直径,CB,的延长线于点,P,ADBC,，,D,为垂足,.,求证：,PB:PD=PO:PC.,分析：要证明,PB,：,PD=PO,：,PC,很明显,PB,、,PD,、,PO,、,PC,在同一直线上无法直接用相似证明，,且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明,PB PC=PD PO,而由,切割线定理有,PA,2,=PB PC,只需再证,PA,2,=PD PO,，而,PA,为切线,所以连接,OA,由射影定理 得到,.,练习3.如图,A是O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点,例,2,如图,E,是圆内两弦,AB,和,CD,的交点，直线,EF/CB,交,AD,的延长线于点,F,，,FG,切圆于点,G.,求证：,(,1),DFE,EFA;(2)EF=FG.,O,B,E,C,A,D,F,G,证明,：,(1)EF/CB,DEF=DCB.,DCB,和,DAB,都是 上的圆周角,.,DAB=DCB=DEF.,DFE=EFA,（公共角）,DFEEFA.,(2),由,(1),知,DFEEFA,，,EF,2,=FA,FD.,又,FG,是圆的切线，,FG,2,=FA,FD.,EF,2,=FG,2,即,FG=EF.,例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF/CB,例,3,如图，两圆相交于,A,、,B,两点，,P,为两圆公共弦,AB,上任意一点，从,P,引两圆的切线,PC,、,PD,，求证：,PC=PD.,PC,2,=PAPB,PD,2=,PAPB.,C,P,A,D,B,证明：由切割线定理可得：,PC,2,=PD,2,.,即,PC=PD,例,4,如图，,AB,是,O,的直径，过,A,、,B,引两条弦,AD,和,BE,，相交于点,C,求证：,AC,AD+BC,BE=AB,2,A,E,D,C,B,F,O,证明：连接,AC,、,AD,，过,C,作,CF,AB,与,AB,交于,F,AB,是,O,的直径，,AEB=ADB=90,0,.,又,AFC=90,0,A,、,F,、,C,、,E,四点共圆,.,BCBE=BFBA.,(1),同理可证,F,、,B,、,D,、,C,四点共圆,.,ACAD=AFAB,.,(2),(1)+(2),可得,ACAD+BCBE=AB(AF+BF)=AB,2,.,例3如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一,例,5,如图，,AB,、,AC,是,O,的切线，,ADE,是,O,的割线，连接,CD,、,BD,、,BE,、,CE.,问题,1:,由上述条件能推出哪些结论？,CD:CE=AC:AE,CDAE=ACCE.,(2),同理可证,BDAE=ACCE.,(3),AC=AB,由,(2)(3),可得,BECD=BDCE,.,(4),探究,1:,由已知条件可知,ACD=AEC,而,CAD=EAC,ADC,ACE.,(1),C,A,O,B,E,D,图,1,问题,2,在图,1,中,使线段,AC,绕,A,旋转，得到图,2.,其中,EC,交圆于,G,DC,交圆于,F.,此时又能推出哪些结论？,例5如图，AB、AC是O的切线，ADE是O的割线，连接,问题,2,在图,1,中,使线段,AC,绕,A,旋转，得到图,2.,其中,EC,交圆于,G,DC,交圆于,F.,此时又能推出哪些结论？,C,A,O,B,E,D,图,1,C,A,O,B,E,D,图,2,G,F,探究,2:,连接,FG.,与探究,1,所得到的结论相比较,可以猜想,ACD,AEC,.,下面给出证明,.,AB,2,=ADAE,而,AB=AC,ADC,ACE.,(5),而,CAD=EAC,AC,2,=ADAE,同探究,1,的思路，还可得到探究,1,得出的结论,(2)(3)(4).,另一方面，由于,F,、,G,、,E,、,D,四点共圆,.,CFG=AEC.,又,ACF=AEC.,CFG=ACF.,故,FG/AC.,(6),你还能推出其他结论吗？,问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC,问题,3,在图,2,中,使线段,AC,继续绕,A,旋转，使割线,CFD,变成切线,C