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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2 垂直于弦的直径(1),由此你能得到圆的什么特性？,可以发现：,1,、,圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片的圆心吗,?,?,2.,圆是,中心对称图形,对称中心是,圆心,。,3.,圆具有,旋转不变性,.,A,B,C,D,思考： 问题,1,、图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果有，你能找到多少对？,O,问题,2.AB,作怎样的变换时,，,AC=,BC,AD=,BD,？,相等的线段有：,OA=OC=OB=OD,，,AB=CD,相等的弧有,：,AC=,BD,BC=,AD,C,D,A,B,O,结论：,当,CD,AB,时,，,AC=,BC,AD=,BD,C,D,O,问题,3.,将弦,AB,进行平移时，,A,B,A,B,演 示,E,AE,与,BE,相等吗？,AC,与,BC,相等吗？,AD,与,BD,相等吗？,探索发现,猜想,：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,即：,如果,CD,过圆心，且垂直于,AB,，则,AE=BE,，,垂直于弦的直径,AC=,BC,AD=,BD,验证,证明：垂直于弦,AB,的,直径,CD,所在的直线是,O,的,对称轴。把圆沿着直径,CD,折叠时，,A,点和,B,点,重合，,AE,和,BE,重合，,AC,、,AD,分别与,BC,、,BD,重合。因此,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,，即直,径,CD,平分弦,AB,，并且平分,AB,及,ACB,已知：在,O,中,，,CD,是直径,，,AB,是弦,，,CDAB,。,求证：,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,。,叠合法,O,A,B,C,D,E,垂径定理,:,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,即：,如果,CD,过圆心，且垂直于,AB,，则,AE=BE,，,O,E,D,C,B,A,结论：,注意,:,过圆心,和,垂直于弦,两个条件缺一不可,AC=,BC,AD=,BD,“知二推三”,(1),垂直于弦,(2),过圆心,(3),平分弦,(4),平分弦所对的优弧,(5),平分弦所对的劣弧,注意,:,当具备了,(1)(3),时,应对另一,条弦增加”不是直径”的限制,.,O,E,D,C,B,A,我们还可以得到推论：,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,。,即：,如果,CD,过圆心，且,AE=BE,则,CD,AB,，,AC=,BC,AD=,BD,想一想：为什么规定弦,AB,不是直径？,你可以写出相应的命题吗,?,相信自己是最棒的,!,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中,:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,O,A,B,C,D,M,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,垂径定理及推论,O,A,B,C,D,M,条件,结论,命题,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧,.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧,.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧,.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦,.,练习,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,火眼金睛,不是,O,E,D,C,A,B,注意：定理中的两个条件,（直径，垂直于弦）,缺一不可！,轻松过关,1,、如图，,AB,是圆的弦，利用一个三角板，你能确定这条弦的中点吗？,2,、如图，点,C,是圆的任意一个点，利用一个三角板，你能画出一条弦,AB,，使点刚好是这条弦的中点吗？,A,B,C,2,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径。,O,A,B,E,3.,若,O,的半径为,10cm,OE=6cm,则,AB=,cm,。,轻松过关,问题 ：你知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4,m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2,m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗,?,大显身手,37.4m,7.2m,A,B,O,C,E,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为,27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,解：用 弧,AB,表示主桥拱，设弧,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,通过这节课的学习，,你有哪些收获？,能与大家一起分享吗？,
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