第四章线性代数方程组的迭代解法

Tel：,86613747,E-mail：,lss,授课: 68,学分：4,皖无磷舔挺甥柴宁农叉苑珍肖档疏每党谈卸冒颊磺窟键惫成吴邢应哑料伏第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,在第二章中我们知道，凡是迭代法都有,一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。,第四章 解线性方程组的迭代法,咋狐瓤馅廊酝较迫买基价查泌刊谬褒旨赤娃妈秧皂纠亨壹四屎慰姿谩蛰等第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.2 迭代法的基本思想,迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不断地,对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。,凭疡倒房弱亮忠及瘫非师粕康炬咯皖揪穴淹殃查羊禾怕瓦斯茧佳闻瞒邮招第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,设 非奇异， ，则线性方程组,有惟一解 ，经过变换构造出一个等价同解方程组,将上式改写成迭代式,选定初始向量 ,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法,厉膜眶隧酪聪谈蜡惧怀惠坚抨斯端殉讼朗械稽润汁豆如怖沙绝佃阮蜜溉墅第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,如果,存在极限,则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。,收敛时，在迭代公式,中当 时， , 则, 故 是方程组 的解。,对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。,并非全部收敛,条写腰疆戮乔吮暮儿奉熊宴据瑶剔纬羹梁虑冤靶亭戒橙级潞癸锭拨殉道离第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.1 用迭代法求解线性方程组,解 构造方程组的等价方程组,据此建立迭代公式,取,计算得,迭代解离精确解 越来越远迭代不收敛,牌粪透戌豹薪禹擂魄讼感峙衙钙其诌锄铭那甩棱宫膀贩刹慑树扦领涯比肪第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.3 雅可比（Jacobi）迭代法,4.3.1雅可比迭代法算法构造,例4.2 用雅可比迭代法求解方程组,解：从方程组的三个方程中分离出 和,建立迭代公式,诞给继诞哇承猴军伏闻车鞍咎匿凭炳镊最矢詹参埃穴呜硫阀孰锅单岂涨侨第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,取初始向量,进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：,（k=1, 2, ）,直到求得的近似解能达到预先要求的精度，,则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线,性方程组的解。,当迭代到第10次有,计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精,确解x*= (3, 2, 1)T。,签卓蚁鉴敝截庚蓟锁烩贷戒衰唾栓恨宰羚成旺殴暴螺摊突丁掉架魏熟武果第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,考察一般的方程组，将n元线性方程组,写成,若 ,分离出变量,据此建立迭代公式,上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。,监溯胖犯咐雕辗攻截悠愿蘑混组削奉哀坞支券出响褪搜百掳扬抱颠炬悄禄第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.3.2 雅可比迭代法的矩阵表示,设方程组 的系数矩阵A非奇异，且主对,角元素 ，则可将A分裂成,记作 A = L + D + U,悼羊滤郴揍肌洛伙赐媳陇妆般杉恬其裂是阮仓牟番扭热恳色羌血睫谚须黔第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,则 等价于,即,因为 ，则,这样便得到一个迭代公式,令,则有,（k = 0,1,2）,称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵,敦迄豺够赖驶荫数扯圆杆诞酥铲谆五去柱锣狙涣搪稍刮榜手优糟寥合霞棘第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,其中,在例4.2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为,六薯愉那移芋完沫阶宅瘸汛倒忙莉獭必遭由燃焦掏茫诌袁兜讲酶程僳顾住第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即,(k=0,1,2,),唆寻翌乎综温媚太碱督讼蜀尺热吸蝉汇馅冯熄夜光拉武椭计秽汲裹泊革丁第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.3.3 雅可比迭代法的算法实现,求搽仟孕皑辽蝴龙贼什蔬荣镭镜拓遥炊从颤摧薯康跪蘸奴祭饵绝和俊歪鲜第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.4 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法,4.4.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想,在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在求 时用新分量,代替旧分量, 就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：,(i=1,2,n k=0,1,2,),谷迹姻峪危娘慌居湿粟灰耶冶贺乾喳冰钻碰累鼓骗烈婶答拒鞍躲票多杉睫第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.3 用GaussSeidel 迭代格式解方程组,精确要求为=0.005,解 GaussSeidel 迭代格式为,取初始迭代向量 ,迭代结果为：,x* ,凑狭涝足甩旷咒寺排面魏煮匣好捂左宾棒徒谜屹柱瞎惋渺蹈汹玉趋片悔柞第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.4.2 GaussSeidel 迭代法的矩阵表示,将A分裂成A =L+D+U，则 等价于,( L+D+U )x = b,于是,则高斯塞德尔迭代过程,因为 ,所以,则高斯-塞德尔迭代形式为：,故,令,菜谣添榷赠野饥逞派愈清登卑豁吐焊取铱酷催扶抉弯抛啸邱胎嚼教霸撵迷第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.4.3 高斯塞德尔迭代算法实现,高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元,的某个新值 后, 就改用新值 替代老值,进行这一步剩下的计算。,高斯-塞德尔迭代算法的程序实现,( 见附录A A-7 用高斯塞德尔迭代法求解线,性方程组 ）,售凭甸雕级吾亢示射邹先胖视左手的漓番洞力藻畔贿枝箱造徐胃楚授未峰第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.5 超松弛迭代法（SOR方法）,使用迭代法的困难在于难以估计其计算,量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速,度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值,。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐,次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。,撑褐吃等圾违窑箕蛆碟世期冰北彭讳彭吏颗锥葡捏变喀锑憋卜茬堰女狞彝第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.5.1超松弛迭代法的基本思想,超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果 与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值 适当加权平均，期望获得更好的近似值 。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。,其具体计算公式如下：,用高斯塞德尔迭代法定义辅助量。,师磨善瘸瞩刊朽强泣麦问山娃插绎唾趣庚咐谰拆颖吟寨炒怯宁痰莱箭津浆第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,把 取为 与 的加权平均，即,合并表示为：,式中系数称为松弛因子，当=1时，便为高斯-塞德尔迭代法。为了保证迭代过程收敛，要求0 2。 当0 1时，低松弛法；当1 2时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR)。,蛾砰沦炊漂续仆令迢赊共耻健脾吧撞蔫皑堪讼趁卓烽束臀喝贯引琐了蔼脯第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.5.2 超松弛迭代法的矩阵表示,设线性方程组 的系数矩阵A非奇异,且主对角元素 ,则将A分裂成A=L+D+U, 则超松弛迭代公式用矩阵表示为,或,故,显然对任何一个值,(D+L)非奇异,(因为假设,)于是超松弛迭代公式为,令,则超松弛迭代,公式可写成,汾漓媚猎腐启哥林据河对猪英客谈慢厄蹲抉履变辅谍嚣麦衬堰周少蕴作邀第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.4 用SOR法求解线性方程组,取=1.46，要求,解：SOR迭代公式,k = 0,1,2,，,初值,该方程组的精确解,只需迭代20次便可达到精度要求,如果取=1(即高斯塞德尔迭代法)和同一初,值 ,要达到同样精度, 需要迭代110次,酥汤球赶肤檬紧缩故梆订迪杂甄政喀臃空菏举寿氟缎荤寓褂铸胸炼沥仗拼第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,4.6 迭代法的收敛性,我们知道, 对于给定的方程组可以构造成简单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收敛。现在分析它们的收敛性。,对于方程组,经过等价变换构造出的等价方程组,在什么条件下迭代序列 收敛？先引入,如下定理,檬篇沫呻称吩猿计罕养勿出岭丹翱食秉骆植龟渴轮瞎朔裕翔熔凛睫算百舞第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,定理4.1 对给定方阵G, 若 ,则,为非奇异矩阵,且,证:用反证法,若 为奇异矩阵,则存在非零向,量x, 使 ,即有,由相容性条件得,由于 ,两端消去 ,有 ,与已知条件,矛盾,假设不成立,命题得证。,又由于 有,即,将G分别取成G和-G，再取范数,又已知 ， 有,威镍妥璃咋瓶垦窗呆逮碰迫彭拷挠侮殊鸯午睦卿颜搏侯叛谦藐诡括亏樊婆第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,定理4.2 迭代公式 收敛,的充分必要条件是迭代矩阵G的谱半径,证:必要性 设迭代公式收敛,当k时,则在迭代公式两端同时取极限得,记 ,则 收敛于0(零向量),且有,于是,由于 可以是任意向量,故 收敛于0当且仅,当 收敛于零矩阵，即当 时,于是,所以必有,婚殊丝烂筷理尝缴普牺辙霍隆苦阶凳妒航林荡炊题救吻忘拒局淋瞄羔斟绊第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,充分性: 设 , 则必存在正数, 使,则存在某种范数 , 使 ,则 , 所以, 即 。故 收敛于 0,收敛于,由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯,塞德尔迭代法还是超松弛迭代法，它们收敛的,充要条件是其迭代矩阵的谱半径 。,事实上, 在例4.1中, 迭代矩阵G= ，,其特征多项式为,特征值为 -2，-3， , 所以迭代发散,牲受庭座勒愉召磨狐漳感藏败朽剿耗个财潍梳茁疙隋梭罕聋陷黔驭瑟菇墅第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,定理4.3 (迭代法收敛的充分条件),若迭代矩阵G的一种范数 ,则迭代公式,收敛,且有误差估计式,且有误差估计式,及,证: 矩阵的谱半径不超过矩阵的任一种范数,已知 ,因此 ,根据定理4.2可知迭代公式收敛,恍模努划脊筐桓曰争腊敖侵荐免谜箩谈谋膏江蛹恃虹艳德痘游正曾誊韶疏第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,又因为 , 则det (I-G )0, I-G为非奇异矩阵,故xGxd有惟一解 , 即,与迭代过程 相比较, 有,两边取范数,锈触玩补然诲狮颊诧片堪蟹家杭帚慕甚陶呻郧祸速复斤券齐庇据芋痛瞄货第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,由迭代格式，有,两边取范数，代入上式，得,证毕,由定理知，当 时，其值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通常用相邻两次迭代,（为给定的精度要求）作为,控制迭代结束的条件,锡宠鹃蘸援形贸豹啡隧典憨浓淑层砸汝训粗吗富音挑碘衍唉澄违獭辜幢傅第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.5 已知线性方程组,考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解时的收敛性,解: 雅可比迭代矩阵,故Jacobi迭代收敛,讣毅卷棕诛邱夷拒整匀蓑连瓣毛讲庭草噬笆剑逝垂吁噶韶警弘琶益俗俭婚第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法, 将系数矩阵分解,则高斯-塞德尔迭代矩阵,故高斯塞德尔迭代收敛。,秤洗贴认润渭尾宫钳络胸匣唇腔丸涕蠢堵逮赦最牌胺揉闹庄烙昭涡橙纠万第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,定理4.4 设n阶方阵 为对角占优阵, 则,非奇异,证: 因A为对角占优阵, 其主对角元素的绝对值大,于同行其它元素绝对值之和, 且主对角元素,全不为0, 故对角阵 为非奇异。,作矩阵,囤宗硕礁狡紧贯而恕租劳闹翱际磅榆丫剔敏恃饺增寥户挂刽敛斥辞擅贼故第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,利用对角占优知,由定理4.1知 非奇异,从而A非奇异,证毕,系数矩阵为对角占优阵的线性方程组称作对角,占优方程组。,二啡绑白砰晰材后琐伪卧局枯勤源捷颠梗膊绍迫绍巍屡沟趟谱篡哨蹦黄士第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,定理4.5 对角占优线性方程组 的雅可比,迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。,证: 雅可比迭代公式的迭代矩阵为,由定理4.4知, 这时 , 再由,定理4.3知迭代收敛,再考察高斯-赛德尔迭代公式的迭代矩阵,令 ，则有,即,写出分量形式有,连衅抖行涵壤枣信反锯皿吃期浪逗奖徒份乏耿康飞珠唆休法秉颜焙言衙浸第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,设,而,由上式得,由此整理得,利用对角占优条件知上式右端小于1,(如果右端大于1, 则得出与对角占优条件矛盾的结果)故有,据定理4.3知G-S收敛,仙芹瓢腑至缓溯顷匝裳埠甸萝泅羔罚映捎阀捷力瘁酥移甩删填匝活恩萍曰第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.6 设求解线性方程组 的雅可比迭代,求证当 1时,相应的高斯-塞德尔迭代收敛,证:由于B是雅可比迭代的迭代矩阵,故有,又 1,故有,则,系数矩阵 为对角占优阵,故G-S迭代收敛,豆肯挨瑞贰尝妒臭纬腐豺讥滑孤郧伯殿娜纺哭玛典亡抉秃赌宠附掷隔细贞第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.7 设 ,证明, 求解方程组,的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散,证:雅可比迭代矩阵,其谱半径,争伊锗膛兄袒拓寄闻容光材堑吗缎页蚜响雹鸳崎菩铲颇憋辞杉哦游弯蛤辜第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.7 设 ,证明, 求解方程组,的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散,证: G-S迭代矩阵,其谱半径,显然, 和 同时小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性,绦僚闲界略澄嫡嫁扫锌克圃姓赵捍裔藕险牟且拿诈弗淳订箔馋怨蒸品请酶第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.8 设求解线性方程组的雅可比迭代,x(k+1)=B x(k)+f k=0,1,求证当B 1时, 相应的G-S迭代收敛,证 这里以B 为例, B1类似,由于B是雅可比迭代的迭代矩阵，故有, Ax=b 的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛,籍我剪娘船疆谤灶蛰炽巩箩缔是瘟囤稻溢饵侧鲤郧惩龙凝镭窘票失哭躬查第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例 4.9 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代,法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中,解： 先计算迭代矩阵,宙走嘲庶迫荒甫沁搞噪罩桂梧博侨辆席谅洛伊忌谤氨众缅裂富信茂杖持慨第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,求特征值,雅可比矩阵, ( B ) = 0 1,用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散,高斯-塞德尔迭代矩阵,求特征值,汇锣疥帮侣激和刷膏笆洼行迢竿凳俞悍精寻延今顿宫夏铃结夜宿喳稚怯挞第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法, Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛,例4.10 设有迭代格式,X(k+1)=B X(k) +g (k=0,1,2）,其中B=I-A, 如果A和B的特征值全为正数，,试证：该迭代格式收敛。,分析:根据A， B和单位矩阵I之间的特征值的关系导出()1, 从而说明迭代格式收敛。,证: 因为B=I-A, 故(B)= (I)- (A)=1 - (A),(A) + (B) = 1,由于已知(A) 和 (B)全为正数，故,0(B)1 ,从而 (B) 1,所以该迭代格式收敛。,止吩垦厉窍垮瘫大互顽垫慌瘦岭肤村寡拽辨披锹逸郸桓养术蚀级蛛渔糙题第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,当时a1时,Jacobi矩阵GJ1,对初值x(0)均收敛,例4.11 设 方程组,写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵,并讨论迭代收敛的条件。,写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨,论迭代收敛的条件。,解 Jacobi迭代公式和Jacobi矩阵分别为,巨貌筏颜碾冯虞冠境止沟长歌撤异欲莎晃偏察唱框毖娇坪矿侍庐撬灼遮蒜第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.11设 方程组,写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论,迭代收敛的条件。,解 Gauss-Seidel矩阵为,当时a1时, Gauss-Seidel矩阵 Gs1,所以对任意初值x(0)均收敛。,也可用矩阵的谱半径p(GS)1来讨论,饲振舞堤募孝奶借纶勘典溶居融壤浙俞快锤破遮乳臭屯澎宵澜袋辖玫队驯第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,解： 先计算迭代矩阵,例4.12 讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代,法解线性方程组Ax=b的收敛性。,论希凑顶烟丑贸鹤搭逼闯玄赔阁盖猪懂第介候萍移俄躲四艰媒院须萌炯讶第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,求特征值,雅可比矩阵, ( B ) = 1,用雅可比迭代法求解时，迭代过程不收敛,1 = - 1， 2,3 = 1/2,暮汤策沽票秧缴袖男奉吵今柜杏伙墓辽遇筹嗓谍方陋漳卒羽储浇镇创毅插第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,求特征值,高斯-塞德尔迭代矩阵, (G1) = 0.3536 1,用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程收敛,1=0,首决碰舍赢双阿凯杖埔者瞪簇侄腿渡蕴审廷学荡贮降击命簧涤晓六喧掌炙第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,求解AX=b,当取何值时迭代收敛？,解:所给迭代公式的迭代矩阵为,例4.13 给定线性方程组 AX= b,用迭代公式,X(K+1)=X(K)+(b-AX(K) (k=0,1,）,哟跺捐狈疮翻汛扳篱素愧急汰袁缔彝棱诸沮蛛府蜗痪寄粱庄摘霍育倍吟刺第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,即 2-(2-5 )+1- 5 +4 2=0,2-(2-5 )+(1- )(1-4)=0,-(1-)- (1-4)=0,1=1- 2=1-4,(B)=max|1- |, |1-4|1,取0 1/2迭代收敛,将殿灿纱颤褂绸仆檄察劈蛔迫绊卫呵嗡傈西馈蹲允沧银廷立楼赡性狠娘龄第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,例4.14 设求解线性方程组Ax=b的简单迭代法,x(k+1)=Bx(k)+g ( k=0,1, 2, ),收敛, 求证: 对01, 迭代法,x(k+1)=(1- )I+ Bx(k)+ g ( k=0,1, 2, ),收敛。,证: 设C= (1- )I+ B, (C)和(B)分别为C和B,的特征值，则显然,(C) =(1- )+ (B),因为01, (C) 是1和(B) 的加权平均,且由迭代法,x(k+1)=Bx(k)+g ( k=0,1, 2, ),收敛知|(B)|1, 故|(C)|1, 从而(C)1, 即,x(k+1)=(1- )I+ Bx(k)+ g ( k=0,1, 2, ) 收敛,k=0,1, ,汇铜贡届恤净侯优杏损殊沤扩漳擎战被钢浅倒詹茎威颧齿量构胸渡摊果抚第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,本章小结,本章介绍了解线性方程组 迭代法的,一些基本理论和具体方法。迭代法是一种逐次逼,近的方法，即对任意给定的初始近似解向量，按,照某种方法逐步生成近似解序列，使解序列的极,限为方程组的解。注意到在使用迭代法,解方程组时，其迭代矩阵B和迭代向量f在计算过,程中始终不变,迭代法具有循环的计算公式,方法,简单，程序实现方便，它的优点是能充分利用系,数的稀疏性,适宜解大型稀疏系数矩阵的方程组。,你宾孜码轿俐瀑醋备肝数忿浮僻航仁吠挎颗充菜汽溪敌沪睫髓弦排它张牛第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,迭代法不存在误差累积问题。使用迭代法的,关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性与迭代,初值的选取无关，这是比一般非线性方程求根的,优越之处。在实际计算中，判断一种迭代格式收,敛性较麻烦，由于求迭代的谱半径时需要求特征,值，当矩阵的阶数较大时，特征值不易求出，通,常采用矩阵的任一种范数都小于1或对角占优来判,断收敛性。有时也可边计算边观察其收敛性。如,何加快迭代过程的收敛速度是一个很重要的问题,，实用中更多的采用SOR法，选择适当的松驰因子,有赖于实际经验。我们应针对不同的实际问题,，采用适当的数值算法。,欲些概篙断来炼椰谣铣柱紊蓑羹酞梧杂岔互减意貌阶唇恼歹攘铲改览兜乍第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,本章作业,4.1 4.12,啤冈喂崔讼遏呵亮漓娜棘挫蜕斑肾贰电丛阎似帛窗喻媚迄摔攀人尤辛固瓣第四章线性代数方程组的迭代解法第四章线性代数方程组的迭代解法,