结构力学_位移法

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,结构力学,第,8,章位移法,主要内容,1,位移法基本概念,2,位移法的基本结构和基本未知量,3,等截面直杆的转角位移方程,4,位移法典型方程,5,直接利用平衡条件建立位移法方程,6,位移法与力法联合应用,8.1,位移法的基本概念,力法是分析超静定结构的最基本也是历史最悠久的方法。它是以结构的多余力作为基本未知量，首先根据变形协调条件求出多余力，然后再求出其它反力、内力和变形。,位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以结点的平衡条件作为补充方程，首先求出结点位移，然后再求出其它反力、内力。求解未知量的顺序正相反。,作为入门，我们先看一个简单的例子。以便更具体地了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架，承受对称荷载,F,p,作用。,由于对称，结点,B,将仅有竖向位移,。在位移法中，基本未知量为,。,取结点,B,为隔离体如图,(b),所示，,设第,i,根杆的受拉力为,F,Ni,，,由静力平衡条件，得,(a),图,(a),F,p,i,i,图,(b),F,p,另一方面，考虑任一根杆,i,，,设其伸长量为,u,i,，,由几何关系得,i,i,u,i,图,(c),(b),由虎克定律得,图,(a),F,p,i,i,图,(b),F,p,(a),(c),则：,(d),上式就是,拉压杆的刚度方程,，它反映了杆端力,F,N i,与杆端位移,u,i,之间的关系。把,(d),式代入,(a),式得,(e),上式就是,位移法的基本方程,，它反映了结构的结点位移与结构的结点荷载之间的关系。,由基本方程得,(f),至此完成了位移法的关键一步，即在外荷载的作用下，结构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定,(g),上面简要地介绍了位移法解题的过程，其要点如下,位移法的基本未知量是结点位移；,位移法的基本方程实质是结点沿基本未知量方向的平衡方程；,求解基本方程后，即可求出各杆的内力。,8.2,位移法的基本结构和基本未知量,上节中以简单桁架为例说明了位移法的基本要点，下面讨论如何将位移法应用于刚架计算。,如图,(a),所示由两根杆组成的刚架。,Z,1,1,2,图,(b),Z,1,F,p,3,1,Z,1,图,(c),如果能求出转角,Z,1,，,则各杆（,12,杆、,13,杆）的内力均可按前面的力法求得。因此，在位移法中，以结点位移,Z,作为基本未知量，并,以单跨超静定梁作为基本计算单元,，由此可知，用位移法分析刚架时，需要解决下面三个问题：,(1),位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量）,(2),单跨超静定梁分析,(3),相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。,图,(a),1,2,3,F,p,在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，后面讨论。,为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原刚架的结点上引入某些附加约束如：,附加的刚臂,（阻止结点转动的约束）或,附加链杆,（阻止结点线位移的约束），使其变成固定端或铰支端，所得的结构,即为位移法计算时的基本结构,。而结构独立的,基本未知量数目,等于把原结构转变为基本结构时所,附加的刚臂,和,附加链杆数目,之和,。这样，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未知量的数目。如：,附加刚臂,一个基本未知量,基本结构,附加链杆,两个基本未知量,基本结构,三个基本未知量,基本结构,基本结构,三个基本未知量,EA,EA,两个基本未知量,基本结构,若：,EA,=,？,0,个基本未知量,8.3,等截面直杆的转角位移方程（物理方程）,前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为,单跨超静定梁,，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作用下的杆端内力情况。,1,杆端位移引起的杆端力,如图,(a),所示两端固定梁,AB,，,已知,A,端位移是,v,A,、,A,，,B,端位移是,v,B,、,B,，,求该梁的杆端力,M,AB,、,Q,AB,、,M,BA,、,Q,BA,。,图中的位移方向均为正方向。,把变形分解，首先考虑杆端弯矩作用下的杆端转角，如图,(b),所示。,(a),上式中，称为杆的线刚度。,其次，因杆端线位移引起的杆端转角为,(b),图,(a),A,B,x,y,A,v,A,B,v,B,A,B,v,A,v,B,M,AB,F,QAB,F,QBA,M,BA,M,AB,M,BA,图,(b),则杆端的最终转角为,(c),由上式解得,(d),由静力平衡条件可求得杆端剪力为,(e),为了便于后面应用，下面讨论在,B,端具有不同支承条件时的杆端位移与杆端力的关系。,(1)B,端为铰支，如图,(c),所示,F,QAB,图,(c),A,B,x,y,M,AB,F,QBA,此时，,在,(c),的第一式中，令,得,由平衡条件得,(h),(f),(c),(e),(d),(2)B,端为定向支承，如图,(d),所示。,图,(d),A,B,x,y,M,AB,M,BA,此时，,且,在,(e),的得,由,(d),式得,(i),2,荷载引起的杆端力,书中,P,117,179,页表,7-1,给出了常见约束情况下荷载引起的杆端弯矩（顺时针为正）和杆端剪力（对杆内任一点产生顺时针矩的为正）的大小，使用时可直接查表（该表是用前面的力法求得的）,杆端弯矩用,M,F,AB,、,M,F,BA,表示；,杆端剪力用,F,F,QAB,、,F,F,QBA,表示。,如：,A,B,M,AB,M,BA,F,QAB,F,QBA,F,p,a/,2,a/,2,3,等截面单跨超静定梁的转角位移方程,若等截面梁同时承受已知的杆端位移和荷载共同作用，则由叠加原理易求得最终的杆端力为,(1),两端为固定,(8-1),这就是两端固定等截面直杆的,转角位移方程,。,A,B,x,M,AB,M,BA,F,QAB,F,QBA,y,(2)A,端为固定，,B,端铰支,(8-2),这就是,A,端为固定、,B,端铰支等截面直杆的,转角位移方程,。,(3)A,端为固定，,B,端定向,F,QAB,A,B,x,y,M,AB,F,QBA,A,B,x,y,M,AB,M,BA,(8-3),这就是,A,端为固定、,B,端定向等截面直杆的,转角位移方程,。,8.4,位移法典型方程,1,无侧移刚架的计算,指无结点线位移（不包括支座处）的刚架。,无侧移刚架,：,首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方程的建立。,a,/,2,EI,2,EI,1,F,p,a,/,2,a,图,(a),Z,1,F,p,1,图,(b),基本结构,=,F,p,R,1,p,1,图,(c),约束结点,+,R,11,图,(d),放松结点,1,Z,1,显然位移法的基本未知量仅有一个，,1,号结点的转角,Z,1,。,在,1,号结点引入刚臂得位移法基本结构如图,(b),所示。,第一步,：约束刚臂使沿,Z,1,方向上无转动，在荷载的作用下，此时附加刚臂上将产生反力矩,R,1,p,，,如图,(c),所示。,第二步,：使基本结构的,1,结点发生与原结构相同的转角,Z,1,，,此时附加刚臂上的力矩为,R,11,，,如图,(d),所示。,应用叠加原理，,(c)+(d),，,则刚臂上的约束力矩为,设：沿,Z,1,方向上单位转角时，刚臂上的力矩为,r,11,，则,代入,(a),式得,(a),(8-4),这就是,一个基本未知量时的位移法典型方程,。,r,11,1,1,Z,1,F,p,1,图,(b),基本结构,=,F,p,R,1,p,1,图,(c),约束结点,+,R,11,图,(d),放松结点,1,Z,1,对于本题：,图,(e),图,3,2,EI,/,a,4,EI,/,a,2,EI,/,a,4EI,/,a,r,11,3,2,EI,/,a,F,p,R,1,p,1,图,(f),M,p,图,3,F,p,a,/,16,R,1,p,-3,F,p,a,/,16,代入典型方程得,求出结点,1,的转角后，任一截面的内力和反力由叠加原理得,(8-5),例,1,如图示两跨连续梁，做,M,图,(,EI,=,常数,),。,解：,一个基本未知量,Z,1,图,(b),基本结构,位移法基本方程为,设,q,=2kN/m,F,p,=20kN,A,B,C,图,(a),3m,3m,6m,图,(c),图,4,i,2,i,3,i,图,(d),M,p,图,15,15,9,9,30,由,得,最终,M,图如图,(e),所示。,图,(e),M,图,(,kN.m,),11.57,9,30,16.71,图,(c),图,4,i,2,i,3,i,图,(d),M,p,图,15,15,9,9,30,11.57,9,30,16.71,图,(e),M,图,(,kN.m,),2,有侧移刚架的计算,一般而言，刚架在结点处除了有角位移之外，还有结点线位移，这类刚架称为,有侧移刚架,。位移法分析有侧移刚架时，基本思路与无侧移刚架相同，只是分析时要复杂些，在用位移法分析有侧移刚架时，应注意基本未知量既包括角位移又包括线位移。,例,2,如图示刚架，做,M,图,(,EI,=,常数,),。,图,(a),l,l,/,2,l,/,2,F,p,A,B,C,D,图,(b),基本结构,F,p,A,B,C,D,Z,1,Z,2,图,(c),约束结构,R,1,p,F,p,R,2,p,R,2,R,1,+,=,叠加,(c),、,(d),，,注意到沿,Z,1,、,Z,2,方向原结构无荷载作用，易得,下面讨论,R,1,、,R,2,的表达形式,(a),Z,2,图,(d),放松结构,Z,1,r,11,r,21,1,Z,1,=1;,Z,2,=0,4,i,2,i,3,i,Z,1,=0;,Z,2,=1,r,12,r,22,1,3,i/,l,6,i/,l,6,i/,l,图,(f),图,(,Z,1,=0;,Z,2,=1),因为,(a),(b),由,(a),、,(b),两式得,(8-6),这就是,两个基本未知量时的位移法典型方程,图,(e),图,(,Z,1,=1;,Z,2,=0),对于本题,（反力互等定理）,r,12,r,22,12,i,/,l,2,3,i,/,l,2,r,11,r,21,1,Z,1,=1;,Z,2,=0,4,i,2,i,3,i,图,(e),图,Z,1,=0;,Z,2,=1,r,12,r,22,1,3,i/,l,6,i/,l,6,i/,l,图,(f),图,图,(c),M,p,图,R,1,p,F,p,R,2,p,F,p,l/,8,F,p,l/,8,F,p,l/,8,代入典型方程得,解之得,；,叠加法求任一截面的弯矩,4,i,2,i,3,i,图,(e),图,3,i/,l,6,i/,l,6,i/,l,图,(f),图,图,(g),M,图,(,F,p,l/,552),27,183,66,27,60,138,27,183,66,27,60,138,图,(g),M,图,(,F,p,l/,552),3,位移法典型方程的一般形式,对于具有,n,个基本未知量的刚架，用完全相同的方法，可以得到相应的,n,个基本未知量的典型方程为,(8-7),写成矩阵的形式为,(8-8),上式中，,Z,为结点位移列向量；,R,p,为荷载列向量；,r,为刚度系数矩阵。,注意,：,(1),r,ij,的,物理意义,为沿第,j,个位移,Z,j,方向上单位位移（其余的位移分量全为零）时，在,Z,i,方向上所产生的约束反力；,(2),r,ij,=,r,ji,满足反力互等定理；,(3),r,ii,0,。,例,3,如图示刚架，做,M,图。,解：,基本未知量,2,个，基本结构如图,(b),所示。,位移法典型方程为,令：,i,=,EI,/,l,F,p,图,(b),基本结构,5,F,p,Z,1,Z,2,F,p,=2kN,图,(a),EI,EI,EI,EI,=,k,M,l,=4m,l,/,2,l,/,2,l,l,A,B,C,D,E,5,F,p,图,(e),M,p,图,0.5,7.5,7.5,R,1,p,R,2,p,求,系数,已知：,EI,=,常数，,代入典型方程得,图,(c),图,r,11,r,21,